円とおうぎ形
弧は円の円周の一部分なので、中心角、弧の長さ、面積のうちどれかひとつがわかれば、そのおうぎ形が円のどれくらいの大きさかがわかります。円周の長さと面積
| 円の定義 | 平面上のある \(1\) 点から等しい距離にある点の集まりでできている曲線 |
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| 円周率 \((π)＝\)円周 \(\div\) 直径 |
円周率 \((π)=3.14\) を用います。ある円の半径を〈\(r\)〉、円周率を〈\(π\)〉とするとき、
| \(\boldsymbol{a)}\) 円周の長さ \(l\) | \(=\)〈直径\(\times\)円周率〉 |
| \(\boldsymbol{b)}\) 円の面積: | \(\boldsymbol{S}=\)半径 \(\times\) 半径 \(\times\) 円周率 |
おうぎ形と弧
円の円周の一部分を弧（こ）といい、 弧の両端と円の中心を結ぶ \(2\) 本の半径によってできる図形をおうぎ形といいます。おうぎ形は円の一部になります。 |
\begin{eqnarray}
& & おうぎ形の弧の長さ=2πr \times \cfrac{x}{360}\\[7px]
& & おうぎ形の弧の面積=πr^2 \times \cfrac{x}{360}
\end{eqnarray}
の式で表すことができます。上の公式は、半径と中心角が与えられている場合のものですが、中心角ではなく弧の長さだけ
が与えられている場合もあります。そのようなときは、おうぎ形の性質「おうぎ形は円の一部である」を思い出してください。
中心角、弧、面積のうちどれかひとつがわかっていればおうぎ形と円の比とその値がわかります。半径が \(\boldsymbol{r}\) 、弧の長さが \(\boldsymbol{l}\) のおうぎ形は、おうぎ形と円の面積の割合が、
\[\color{red}{\cfrac{おうぎ形の弧の長さ}{円周}}\]
なので、半径 \(r,\) 弧の長さ \(l\) のおうぎ形は、円の\(\boldsymbol{\cfrac{l}{2πr}}\) 倍の大きさになります。よって、このおうぎ形の面積は、
\begin{align}
S &=πr^2 \times \frac{l}{2πr}\\
&=r \times \frac{l}{2}\\
&=\boldsymbol{\color{blue}{\frac{1}{2}lr}}\\
\end{align}
の式で表すことができます。
円と直線
円と直線との関係には、次の \(3\) つが考えられます。| \(\small{①}\) \(\boldsymbol{2}\) 点で交わる |
| \(\small{②}\) \(\boldsymbol{1}\) 点で交わる（または、接する） |
| \(\small{③}\) 交わらない |
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| \(\small{①}\) | 基準となる点 \(\boldsymbol{A}\) を中心とする適当な大きさの円を直線\(\boldsymbol{l}\) と \(\boldsymbol{2}\) 点で交わるようにかく |
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| \(\small{②}\) | \(\small{①}\) でできた \(\boldsymbol{2}\) つの交点をそれぞれ中心とする同じ半径の円をかく |
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| \(\small{③}\) | \(\small{②}\) の円の交点と基準となる点 \(\boldsymbol{A}\) を結ぶ直線を引く |
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| \(\small{④}\) | 線分 \(\boldsymbol{AB}\) の垂直二等分線を作図する |
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| \(\small{⑤}\) | 線分 \(\boldsymbol{AB}\) の垂直二等分線と \(\boldsymbol{A}\) を通る直線 \(\boldsymbol{l}\) の垂線との交点に求める円の中心 \(\boldsymbol{O}\) を定める |
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