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関数と座標

y = ax のような式において、a = 定数 とするとき、y の値は x の値に応じて変化します。このような関係を「y は x の関数である」と表現します。

 
比例と反比例 主な学習のポイント
・関数と座標について理解する
・比例の意味と特徴、そのグラフについて学習する
・反比例の意味と特徴、そのグラフについて学習する
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

関 数(かんすう)

「2x」 や 「2x + 3」 などのような式において、たとえば
  x = 2   ならば、 2x = 2 × 2 = 4  
  2x + 3 = 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7 
となり、
  x = 3   ならば、 2x = 2 × 3 = 6
  2x + 3 = 2 × 3 + 3 = 6 + 3 = 9
このように、 x の値が変化することによって、式の値も変わる。 x のように、いろいろな値をとることのできる文字のことを変数(へんすう) といいます。 いろいろな値に〈数〉〈変〉化するから変数と覚えましょう。 一方、変数に対して、2,3 のように決まった値を表す文字を定数(ていすう) といいます。 2x + 3 = 0  のような方程式では、 2 や 3, 0 は値の決まった定数ですが、x は定数を変えればいろいろな値に変化するので変数と言えるます。しかし、方程式の場合は、x がある特定の値になることを約束され た形なのでこのような変数のことを特別に 未知数(みちすう) といいます。
2つの変数 x, y があって、一方の x の値を決めるとそれに対応してもう一方の y の値が決まるような数の関係のことを、

y は x の関数である

といいます。 2つの変数 x, y  の一方の値に応じて他方の値も決まる〈数〉〈関〉係だから関数と覚えましょう。たとえば、
y = 2x  のような場合、x が 2 から 3 に変化すると、y もそれに対応して、 (2 × 2 = 4) から (2 × 3 = 6) へ と変化するので、このような式を「y は x の関数である」といえます。次のような場合、どちらが正しいでしょう。

 「身長は、体重の関数である」
 「1個80円のアイスクリームを買うとき、代金は
  アイスクリームの個数の関数である」

身長が体重の関数であるならば、「身長(体重)の値が決まると、それに対応して体重(身長)も決まる」 ということですが、体重が60㎏で、身長が170㎝であるとき、体重が70㎏に変化すると、身長は175㎝に必ず変化する とは限らず、170㎝の人もいれば、180㎝の人もいるのでこの説は正しくありません。一方、アイスクリームの個数と代金の関係では、「アイスクリームの個数を決めると、代金もそれに対応して変化する」 となりますが、アイスクリームの個数と代金の関係を表に表すと、

アイスクリームの個数(個) 1 2 3 4 5
アイスクリームの代金(円) 80 160 240 320 400

このように、アイスクリームの個数が変化すると、それに対応して代金も変化するので、「代金はアイスクリームの個数の関数である」といえます。


変 域(へんいき)

変域とは、関数を構成する変数の範囲のことをいいます。 「域」には、「範囲」という意味があり、〈変〉数の値の〈範囲〉 のことから変域と覚えます。変数は、「いろいろな値をとることができる文字」のことですが、「いろいろな値」といって も何でもよいということではなく、その値の数には制限があるので「変域」が存在します。

例 題
 次の変数 x の変域を不等号を用いて表してみましょう。

(1) x は正の整数
(2) x は18以下の数
(3) x は-10より大きい負の数
(4) x は 0 以上 9未満の数

これらの関係を、数直線を使って見てみましょう。

(1) 「正の数」は、「0より大きい数」ですから、数直線では次のように表現できます。

「0」より大きい数を表すので、「〇」を用いて「0」を含まずに、それよりも大きい範囲を矢印部分が表します。

→ x > 0

(2) 「18以下」は、「18を含みそれより下の数」という意味になるので、

→ x ≦ 18

(3)  「x は -10 より大きい数」には注意が必要です。負の数の場合、- 11,- 12 のように 絶対値が大きくなるにしたがって、実際の値は小さくなるので、正の方向に向かう数の方が大きいことになります。

→ x > - 10 ―― ①

さらに、「x は- 10より大きい〈負の数〉」とあるので、 x は「0 より小さい数」でなければならなりません。

→ x < 0 ―― ②

①と②から、 x は 「- 10よりも大きく、0 より小さい数」  を表します。これを、数直線で見ると、

- 10 と 0 の両方を x に含まないので、〇を用いています。
  → - 10 < x  < 0   または 0 > x > - 10
となります。

(4) 「以上」「未満」ということばを理解していなければなりません。 
 ・「x は 0 以上の数」は、「0 を含み、それよりも大きい数」のことですから

→ → x ≧ 0 (x = 0) + (x  > 0) ―― ①

・「x は 9 未満の数」 は、 「9 を含まないそれより小さい数」ですから

→ x < 9 ―― ②
 

をそれぞれ表します。これを、数直線上に表すと、

のようになり、これを不等号で表すと、①と②の条件を合わせた形になります。

→ 0 ≦ x < 9

座 標(ざひょう)

次の図は、2つの数直線がそれぞれの原点でたてと横に垂直に交わっています。

さらに、縦の数直線の上部と横の数直線の右側にそれぞれ矢印をつけて、正の方向を表し、縦線の端に〈y〉を横線 の端に〈x〉を明記します。このときの横の数直線を「x 軸」、縦の数直線を「y 軸」、両方を合わせて「座標軸」 といいます。また、座標軸の交点を「原点」といい、その点を「原点」を意味する英語の「origin」の頭文字をとって、点O で表します。

x  軸
座標軸の横の数直線=横 軸
y  軸
座標軸の縦の数直線=縦 軸
座標軸
x 軸 と y 軸
原 点〈O〉
x 軸 と y 軸 の交わる点

原点O からx軸の正の方向にa,  y 軸の正の方向にb だけ行ったところに点Pを描いてみましょう。
点Pを P(a,b) のように表すとき、(a,b)を点Pの座標 (ざひょう)といいます。座標とは、点の位置を明確にするために用いるいくつかの数の組みのことです。

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