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関数と座標

\(y=ax\) のような式において、\(a=\)定数とするとき、\(y\) の値は \(x\) の値に応じて変化します。 このような関係を「\(\boldsymbol{y}\) は \(\boldsymbol{x}\) の関数である」と表現します。

 
比例と反比例 主な学習のポイント
・関数と座標について理解する
・比例とその特徴、グラフについて学習する
・反比例とその特徴、グラフについて学習する
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関 数(かんすう)

\(2x\) や \(2x+3\) などのような式において、 \begin{eqnarray} & &x=2\;\small{\text{ならば、}}\\ & &2x=2 \times 2\\ & &\hspace{10px}=4\\[7px] & &2x+3=2 \times 2+3\\ & &\hspace{10px}=4+3=7  \end{eqnarray} となり、 \begin{eqnarray} & &x=3\;\small{\text{ならば、}}\\ & &2x=2 \times 3\\ & &\hspace{10px}=6\\ & &2x+3=2 \times 3+3\\ & &\hspace{10px}=6+3=9 \end{eqnarray}
このように、 \(x\) の値が変化することによって、式の値も変わります。 \(x\) のように、いろいろな値をとることのできる文字のことを 変数(へんすう) といいます。 いろいろな値に〈数〉〈変〉化するから変数と覚えましょう。 変数に対して、\(2,\;3\) のように決まった値を表す文字を定数(ていすう) といいます。 \(2x+3=y\) のような式では、\(2\) や \(3,\;0\) は値の決まった定数ですが、\(x,\;y\) は定数を変えればいろいろな値に変化するので変数と言えます。しかし、\(2x+3=0\) では、\(x\) がある特定の値になることを約束されていおり、このような \(x\) を特別に 未知数(みちすう) といいます。

\(2\) つの変数 \(x,\;y\) があって、一方の \(x\) の値を決めるとそれに対応してもう一方の \(y\) の値が決まるような数の関係のことを、

\(y\) は \(x\) の関数である

といいます。 \(2\) つの変数 \(x,\;y\) の一方の値に応じて他方の値も決まる〈数〉〈関〉係だから関数と覚えましょう。たとえば、
\(y=2x\) のような場合、\(x\) が \(2\) から \(3\) に変化すると、\(y\) もそれに対応して、 \[(2 \times 2=4)\;\small{\text{から}}\;\normalsize{(2 \times 2=6)}\] へと変化するので、このような式は、「\(y\) は \(x\) の関数である」 といえます。次のような場合、どうでしょう。

「身長は、体重の関数である」
「\(1\) 個 \(80\) 円のアイスクリームを買うとき、
 代金はアイスクリームの個数の関数である」

身長が体重の関数であるならば、「身長(体重)の値が決まると、それに対応して体重(身長)も決まる」 ということですが、体重が \(60kg\)で、身長が \(170cm\) であるとき、体重が \(70kg\) に変化すると、身長は \(175cm\) に必ず変化する とは限らず、\(170cm\) の人もいれば、\(180cm\) の人もいるのでこの説は正しくありません。一方、アイスクリームの個数と代金の関係では、 「アイスクリームの個数を決めると、代金もそれに対応して変化する」 となりますが、アイスクリームの個数と代金の関係を表に表すと、

アイスクリームの個数(個) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
アイスクリームの代金(円) \(80\) \(160\) \(240\) \(320\) \(400\)

このように、アイスクリームの個数が変化すると、それに対応して代金も変化するので、「代金はアイスクリームの個数の関数である」といえます。

変 域(へんいき)

変域は、関数を構成する変数の範囲のことをいいます。 「域」には、「範囲」という意味があり、〈変〉数の値の〈範囲〉 のことから変域と覚えます。変数は、「いろいろな値をとることができる文字」のことですが、「いろいろな値」といって も何でもよいということではなく、その値の数には制限があるので「変域」が存在します。

例 題
 次の変数 \(x\) の変域を不等号を用いて表しましょう。
\((1)\) \(x\) は正の整数
\((2)\) \(x\) は \(18\) 以下の数
\((4)\) \(x\) は \(-10\) より大きい負の数
\((5)\) \(x\) は \(0\) 以上 \(9\) 未満の数
これらの関係を、数直線を使って見てみましょう。 \((1)\) 「正の数」は、「\(0\) より大きい数」ですから、数直線では次のように表現できます。

\(0\) より大きい数を表すので、「〇」を用いて \(0\) を含まず、それよりも大きい範囲を矢印部分が表します。 \[→\;x \gt 0\]

\((2)\) 「\(18\) 以下」は、「\(18\) を含みそれより下の数」になるので、

\[→\;x ≦ 18\]

\((3)\) 「\(x\) は \(-10\) より大きい数」には注意が必要です。 負の数の場合、\(-11,\;-12\) のように絶対値が大きくなるにしたがって、実際の値は小さくなるので、正の方向に向かう数の方が大きいことになります。 \[→\;x \gt -10\; \small{\text{―― ①}}\] さらに、「x は- 10より大きい〈負の数〉」とあるので、 x は「0 より小さい数」でなければならなりません。

\[→\;x \lt 0\; \small{\text{―― ②}}\] ① と ② から、 \(x\) は 「\(-10\) よりも大きく、\(0\) より小さい数」  を表します。これを、数直線で見ると、

\(-10\) と \(0\) の両方を \(x\) に含まないので、○ を用いています。 \begin{eqnarray} & &→\\ & &-10 \lt x \lt 0\\[7px] & &\small{\text{または}}\\[7px] & &0 \gt x \gt -10 \end{eqnarray} となります。

\((4)\) 「以上」「未満」ということばを理解します。 
・「\(x\) は \(0\) 以上の数」は、「\(0\) を含み、それよりも大きい数」のことですから \begin{eqnarray} & &→\\ & &x ≧ 0\\ & &(x=0)+(x \gt 0)\; \small{\text{―― ①}} \end{eqnarray} ・「\(x\) は \(9\) 未満の数」 は、 「9 を含まないそれより小さい数」ですから \[→\;x \lt 9\; \small{\text{―― ②}}\] をそれぞれ表します。これを、数直線上に表すと、

になり、これを不等号で表すと、① と ② の条件を合わせた形になります。 \[→ 0 ≦ x \lt 9\]

座 標(ざひょう)

次の図は、\(2\) つの数直線がそれぞれの原点でたてと横に垂直に交わっています。

さらに、縦の数直線の上部と横の数直線の右側にそれぞれ矢印をつけて、正の方向を表し、縦線の端に〈\(y\)〉を横線 の端に〈\(x\)〉を明記します。このときの横の数直線を「\(\boldsymbol{x}\) 軸」、縦の数直線を「\(\boldsymbol{y}\) 軸」、両方を合わせて「座標軸」 といいます。また、座標軸の交点を「原点」といい、 その点を「原点」を意味する英語の「origin」の頭文字をとって、点 \(O\) で表します。

\(\boldsymbol{x}\) 軸 座標軸のの数直線 \((=\)横 軸\()\)
\(\boldsymbol{y}\) 軸 座標軸のの数直線 \((=\)縦 軸\()\)
座標軸 \(\boldsymbol{x}\) 軸と \(\boldsymbol{y}\) 軸
原 点〈\(O\)〉 \(\boldsymbol{x}\) 軸と \(\boldsymbol{y}\) 軸の交わる点

原点 \(O\) からx軸の正の方向に \(a,\;y\) 軸の正の方向に \(b\) だけ行ったところに点 \(P\) を描いてみましょう。
点 \(P\) を \(\boldsymbol{P(a,\hspace{7px}b)}\) のように表すとき、\((a,\hspace{7px}b)\) を点 \(P\) の 座標(ざひょう)といいます。 座標は、点の位置を明確にするために用いるいくつかの数の組みのことです。

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