比例とそのグラフ
比例は、変数 \(x,\;y\) について、一方が他方の定数倍であるような関係をいいます。比例と比例定数
\(2\) つの変数 \(x,\;y\) があり、 \(\boldsymbol{y=ax}\) \((a\) は \(0\) でない定数\()\) のような関係にあるとき、 \(y\) は \(x\) に比例 (ひれい)するといいます。また、この場合の定数 \(\boldsymbol{a}\) を「比例定数」といいます。 たとえば、\(x\) と \(y\) の間に \(y=2x\) のような関係がある場合について考えてみます。 \begin{eqnarray} & &x=1\; \small{\text{のとき}}\; \normalsize{y=2 \times 1=2}\\[5px] & &x=2\; \small{\text{のとき}}\; \normalsize{y=2 \times 2=4} \end{eqnarray} \(x\) の値が変化するにしたがって \(y\) の値も変化するから、\(y\) は \(x\) の関数になります。同じく、 \begin{eqnarray} & &y=2\; \small{\text{のとき}}\; \normalsize{x=2 \div 2=1}\\[5px] & &x=4\; \small{\text{のとき}}\; \normalsize{y=4 \div 2=2} \end{eqnarray} \(y\) の値を変化するさせても、 \(x\) の値はそれに対応して変化するから、\(\boldsymbol{x}\) は \(\boldsymbol{y}\) の関数になります。比例の計算
\(x\;km\) の道のりを自転車で分速 \(240m\) の速さで走ったときにかかる時間を \(y\) 分としたとき、\(y\) を \(x\) の式で表してみましょう。 速さの問題では、数量関係を整理して、単位をそろえることが大切です。・数量:\(\boldsymbol{x\;km},\) 分速 \(\boldsymbol{240m},\) \(\boldsymbol{y}\) 分 |
道のり\(=\)速さ \(\times\) 時間 |
比例を表す数表
数表(すうひょう)は、数値を表に表したものです。ここでは比例を表す数表について学習します。 次の数表において、\(y\) が \(x\) に比例するとき、空所(ア)、(イ)に当てはまる数を入れてみましょう。\(x\) | - | \(-2\) | - | \(4\) | - | イ |
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\(y\) | ア | \(-2\) | - | \(10\) | - | \(15\) |
(ア):\(\boldsymbol{\color{blue}{-5}}\) 、(イ): \(\boldsymbol{\color{blue}{6}}\) |
\(\boldsymbol{x}\) | \(...\) | \(-6\) | \(-4\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(...\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\boldsymbol{y}\) | \(...\) | \(-15\) | \(-10\) | \(-5\) | \(\cfrac{5}{2}\) | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(...\) |
比例のグラフ
\(y=\cfrac{1}{2}x\) と \(y=-x\) のグラフをかいてみましょう。グラフは\(\small{①}\) \(x\) と \(y\) の関係を表す数表を作成する |
② ① の数表に対応する点を座標平面上に書き入れ、その点を線で結ぶ |
\(\small{①}\) | 数表を作成する |
\(\boldsymbol{x}\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\boldsymbol{y}\) | \(-\cfrac{5}{2}\) | \(-2\) | \(-\cfrac{3}{2}\) | \(-1\) | \(-\cfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(\cfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(\cfrac{3}{2}\) | \(2\) | \(\cfrac{5}{2}\) |
\(\boldsymbol{x}\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\boldsymbol{y}\) | \(5\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-4\) | \(-5\) |
\(\small{②}\) | 数表の \(\boldsymbol{x,\;y}\) の数値を \(\boldsymbol{(x,\hspace{7px}y)}\) という座標にしてグラフに 書き入れ、各点を結ぶ線を描く |
「原点 \(O\) を通る直線」 |
\(\boldsymbol{x}\) が \(\boldsymbol{1}\) 増えると、 \(\boldsymbol{y}\) は比例定数 \(\boldsymbol{a}\) の分だけ増える |
\(\boldsymbol{a \gt 0}\) のとき | \(→\) 右上がりのグラフ |
\(\boldsymbol{a \lt 0}\) のとき | \(→\) 右下がりのグラフ |
ある \(\boldsymbol{2}\) 点 \(\boldsymbol{P,\;Q}\) を通る直線は \(\boldsymbol{1}\) つだけ |
グラフから式を求める
次の \((1)\;\sim\;(4)\) のグラフは、下の \(\small{①}\;\normalsize{\sim}\;\small{④}\) の直線のどれにあたるかを見ていきましょう。\((1)\quad y=\cfrac{2}{3}x\) | \((2)\quad y=-\cfrac{1}{4}x\) |
\((3)\quad y=\cfrac{5}{2}x\) | \((4)\quad y=-3x\) |
\(\boldsymbol{1)}\) グラフの座標 \((\boldsymbol{x,\hspace{7px}y})\) を求める |
\(\boldsymbol{2)\quad 1)}\) から比例定数 \(\boldsymbol{a}\) を求める |
\(\small{①} \quad \normalsize{(-4,\hspace{8px}1)} \hspace{15px} \small{②} \quad \normalsize{(-1,\hspace{8px}3)}\) |
\(\small{③} \quad \normalsize{(2,\hspace{9px}5)} \hspace{15px} \small{④} \quad \normalsize{(3,\hspace{9px}2)}\) |
・ | \(\boldsymbol{y=ax}\) の式に、\(\small{①}\;\normalsize{\sim}\;\small{④}\) の各座標を代入して比例定数 \(\boldsymbol{a}\) を求める |
\(y=ax\) を \(a=\cfrac{y}{x}\) に変形して、上の座標を当てはめます。 |