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方程式とその解

文字を含む式のうち、その文字に特定の数を入れたときにだけ成立するものを方程式といいます。方程式を解くには等式の性質を理解する必要があります。

 
方程式 主な学習のポイント
・方程式の意味とその解について理解する
・方程式の解き方をマスターする
・方程式の文章問題 解き方の手順をマスターする
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

方程式

1 + 2 = 3  のように、すでに成立している等式とは違って、 2x + 5 = 0,  2x + 5 = 3x + 7  のように、文字を含んだ式 は、その文字に入る値によって成立する場合もあれば、成立しない場合もあります。このように、文字を含み、その文字に特定の数字を入れたときにだけ成り立つ式を方程式(ほうていしき) といいます。
2x + 5 = 0  のように、文字が「x」のときには、 「x についての方程式」といいます。また、 x についての方程式において、その方程式を成り立たせる x の値をその 方程式の「解」(かい)といい、 「解」を求めることを、「方程式を解く」といいます。 方程式に用いられる文字は「x」だけ ではありません。文字が a のときには、「a についての方程式」といい、その方程式を成り立たせる a の値を、その方程式の解などといいます。

* 方程式の意味


等式の性質1:A = B  ならば  A + C = B + C

1個10gのおもり 〇 と、 1個15gのおもり △ があるとしましょう。 これらをてんびんに乗せてつりあうようにするため には、10gのおもりを3個〈〇〇〇〉と、15gのおもり2個〈△△〉にすれば、どちらも30gで同じになります。

このような等式が考えられます。
次に、このてんびんに1個 5g のおもり □ を 〇が乗っている左の皿に乗せると、

〇〇〇 + □ = (10 × 3) + 5 = 35

となり、

〇〇〇 +   >  △△

のように、左に傾いてしまいます。そこで、右の皿にも □ のおもりを乗せると

△△ +  = (15 × 2) + 5 = 35

となり、ふたたびてんびんはつりあいます。つまり、

〇〇〇 = △△  ならば
  〇〇〇 +  = △△ +

これを数式に当てはめれば、

「ある等式(A = B)の両辺に、同じ数量(C)を加えても、その等式は成り立つ」
A = B  ならば A + C = B + C


・xの方程式、 x - 9 = 3  を解いてみましょう。
「方程式を解く」とは、方程式を成り立たせる文字の値(xの値)を求めることですから、 x = (   )の形に 式を変えることが解き方の基本になります。 x - 9 = 3  の場合、 x = (   )の形にするのに左辺にある(-9)を省かな ければならなりません。そのためには、式の両辺に(+9)を加えれば (-9) + (+9) = 0  となり、(-9)は消去されます。

x + (-9) + (+9) = 3 + (+9)
x = 12

このようにして、 x の値が割り出せます。 次に、 「x =  12」が本当に方程式の解として正しいかを確かめます。それには、 もとの方程式の x に「12」を代入します

x - 9 = 3  において、
左辺=12 - 9 = 3
右辺= 3

よって、「左辺」=「右辺」となり、この方程式の解は「12」であると確認できます。


等式の性質 2:A = B  ならば  A - C = B - C

等式の性質1で述べた逆のことをしてみましょう。1個 10g のおもり 〇 が3個に 1個 5g のおもり □ が1個てんびんの左の皿に乗り、右の皿には、15g のおもり △ が 2個と 5g のおもり □ が 1個が乗ってつりあっています。

左の皿 : {10 (g) × 3 (個)} + {5 (g) × 1 (個)}
= 右の皿 :{15 (g) × 2 (個)} + {5 (g) × 1 (個)}
= 35 (g)

この状態から、左の皿に乗っている □ のおもりを取り出すと、

左の皿:〇〇〇 - □
 = {10 (g) × 3 (個)} + {5 (g) × 1 (個)} - {5 (g) × 1 (個)}
 = 35 - 5 = 30 (g)
〇〇〇 < △△□

右の皿が重くなって右に傾いてしまいます。そこで、右の皿から □ のおもりを取れば
右の皿: △△-□
 = {15 (g) × 2 (個)} + {5 (g) × 1 (個)}
 - {5 (g) × 1 (個)}
 = 35 - 5 = 30 (g)
となり、ふたたびてんびんはつりあいます。

 

つまり、
〇〇〇 = △△
  ならば  〇〇〇 -  = △△ -

これを数式に当てはめれば、

「ある等式(A = B)の両辺から、同じ数量(C)を引いてても、その等式は成り立つ」
A = B  ならば A - C = B - C

・xの方程式  x + 12 = -5  を解いてみましょう。 方程式の解を求めるには x = (   ) の形にしますから、左辺にある(+12)を取り除きます。

x + 12 = -5 の両辺に(-12)を加えて、
x + 12 + (-12) = -5 + (-12)
x = - (5 + 12) = -17

次に、 x = -17  がこの方程式の解として正しいかを確認します。
もとの方程式の x に -17 を代入して、

左辺
  = x + 12 = (-17) + 12
  = - (17 - 12) = -5
右辺= -5

よって、 x = -17  が方程式の解であることがわかります。


等式の性質 3:A = B  ならば A × C = B × C

おもりを使った例を続けます。てんびんの左の皿には1個10gのおもり 〇 が3個、右の皿には、1個15gのおもり △ が2個乗ってつりあっています。

  

この状態で、左の皿に同じ分だけおもりを加えてみます。

左の皿
: {10 (g) × 3 (個)} + {10 (g) × 3 (個)}
 = 30 + 30 = 60 (g)
→ (〇〇〇)+(〇〇〇)

当然、左の皿の方が重くなり、てんびんは左に傾きます。

(〇〇〇)+(〇〇〇) > (△△)

そこで、右の皿にも同じ分だけおもりを加えると、

右の皿
: {15 (g) × 2 (個)} + {15 (g) × 2 (個)}
= 30 + 30 = 60 (g)
→ (△△)+(△△)

となり、ふたたびてんびんはつりあいます。

これをくり返して、同じ分だけおもりを加えてもてんびんはつりあいます。
  → (〇〇〇)+(〇〇〇)+(〇〇〇)… = (△△)+(△△)+(△△)…
数の計算において、
  a + a = a × 2
と同じものの足し算は掛け算に直すことができるから、

 〇〇〇 = △△  ならば  (〇〇〇)+(〇〇〇)=(△△)+(△△

これを数式に当てはめれば、

「ある等式(A = B)の両辺に、同じ数量(C)を掛けても、その等式は成り立つ」
A = B  ならば A × C = B × C


・x の方程式 1/4x = 12  を解いてみましょう。 x = (   )の形にして方程式を解くので、 方程式の左辺にある 1/4 を 取り除く必要がある。「係数」のところで学習したように、文字だけの項 x には「1 ×」が 省略されていることを思い出しましょう。つまり、 1 × x = (   ) の形にします。ここで、左辺を 1x にするには、1/4に 4 を掛けます

次に、 x = 48 が方程式の解として正しいかを確認する。 もとの方程式の x に 48 を代入して、

左辺=1/4 × 48 = 12
右辺=12

ですから、 x = 48  が方程式の解であると確認できます。


等式の性質 4:A = B  ならば  A ÷ C = B ÷ C

ここまで来れば、等式の性質3〈乗法〉の逆の考え方になることがわかるでしょう。 等式の性質3の状態から、左右のおもりをそれぞれ半分ずつにしても元に戻るだけだからてんびんはつりあいます。

「等辺の両辺に同じ数を掛けても、等式は成り立つ」の逆
 (〇〇〇)(〇〇〇) = (△△)(△△)
 ならば


「等式(A = B)の両辺を同じ数(C)で割っても、等式は成り立つ」
A = B  ならば A ÷ C = B ÷ C (c ≠ 0)

数を「0」で割ることはできないので、(C ≠ 0)とただし書きがあることに注意してください。

・x の方程式  6x =48  を解いてみましょう。
6x の 6 を取り除くためにその逆数 1/6 を式の両辺に掛けると、

という答えが出ます。次に、 x = 8 が方程式の解として正しいかを確認するために、もとの方程式の x に 8 を代入します。

左辺 = 6 × 8 = 48
右辺 = 48

このように、左辺と右辺が一致するから、 x = 8  がこの方程式の解として正しいと確認できました。
等式の両辺を同じ数で割っても、等式は成り立つ」は、除法をそのまま使用する より乗法に変えて、「等式の両辺に同じ数の逆数を掛けても、等式は成り立つ」を利用する方が 計算が楽に行えます。

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