方程式の解き方
前の項では、「等式の性質」について学習しましたが、この性質を十分理解したうえで、\(1\) 次方程式の解く場合、| \(\small{①}\) 文字の項を左辺へ、数の項を右辺へ移項する |
| \(\small{②}\) 両辺を計算して整理する |
| \(\small{③}\) 文字の項の係数を\(1\) にする |
移 項（いこう）
\begin{eqnarray} & & x-9=3\\ & & \small{\text{では}}\\ & & x-9+(\color{red}{+9})=3\color{red}{+9}\\ & & x=3+9\\[12px] & & x+12=-5\\ & & \small{\text{では}}\\ & & x+12+(\color{red}{-12})=-5\color{red}{-12} \end{eqnarray} この方程式は、 \begin{eqnarray} & & x-9=3\\ & & →\; x=3\color{blue}{+9}\\[10px] & & x+12=-5\\ & & →\; x=-5\color{blue}{-12} \end{eqnarray} のように、左辺の数の項「\(-9\)」, 「\(+12\)」が、それぞれ「\(+9\)」, 「\(-12\)」に形をかえて右辺に移動したように見えます。 これは、方程式の一方の辺にある〈項〉が、符号を変えて他方の辺に〈移〉されることを表しており、 この動作を特別に移項（いこう）といいます。| 移 項 | 方程式の一方の辺から他方の辺へ「項」を「移動」させること。その際、符号を変える |
|---|
解き方
\(ax+b=0\quad(a ≠ 0)\) のように、\(a,\;b\) を定数として成り立つ方程式を、\(x\) の \(1\) 次式から、 \(x\) についての \(\boldsymbol{1}\) 次方程式といいます。
・\(1\) 次方程式の解き方
① 文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項する
② 両辺を計算して整理する
③ 文字に係数があれば
両辺を係数で割る
(係数の逆数を掛ける)
例 題：
次の \(2\) つの方程式を解いてみましょう。
\((1)\) 文字の項を左辺へ、定数項を右辺へ移項します
\begin{eqnarray}
& & 2x\color{red}{+3x}=20\color{red}{-5}\\[5px]
& & (2+3)x=15\\[5px]
& & 5x=15\\[5px]
& & \small{両辺を}\;\normalsize{\color{red}{5}}\;\small{で割る}\\[5px]
& & \small{または、}\\[5px]
& & \small{両辺に}\;\normalsize{\color{red}{\cfrac{1}{5}}}\;\small{を掛ける}\\[5px]
& & →\\[5px]
& & 5x \div \color{red}{5}=15 \div \color{red}{5}\\[5px]
& & \boldsymbol{x=3}\\[10px]
& & 5x \times \color{red}{\frac{1}{5}}=15 \times \color{red}{\frac{1}{5}}\\[5px]
& & \boldsymbol{x=3}
\end{eqnarray}
\(x=3\) が方程式の解として正しいかを確かめます。これを、もとの方程式の両辺に代入して
\begin{eqnarray}
\small{左 辺}\;&=& 2x+5\\
&=& 2 \times 3+5\\
&=& 6+5=11\\[10px]
\small{右 辺} &=& -3x+20\\
&=& -3 \times 3+20\\
&=& -9+20=11
\end{eqnarray}
「左辺」\(=\)「右辺」なので、方程式の解として正しいことがわかります。
\((2)\) 式の各項を加法記号で結びます
\[4x+(\color{red}{-15})=6+(\color{red}{-3x})\]
文字の項は左辺へ、定数項は右辺へ移項します
\begin{eqnarray}
& & 4x+(\color{red}{+3x})=6+(\color{red}{+15})\\[5px]
& & 4x+3x=6+15\\[12px]
& & \small{両辺を計算し、整理する}\\[12px]
& & →\\[5px]
& & (4+3)x=21\\[5px]
& & 7x=21\\[12px]
& & \small{両辺を}\;\normalsize{7}\;\small{で割る}\;\normalsize{=\;\frac{1}{7}}\;\small{を掛ける}\\[12px]
& & →\\[5px]
& & 7x \times \color{red}{\cfrac{1}{7}}=21 \times \color{red}{\cfrac{1}{7}}\\[5px]
& & \boldsymbol{x=3}
\end{eqnarray}
\(x=3\) が方程式の解として正しいかを確かめるため、もとの方程式の \(x\) に \(3\) を代入します。
\begin{eqnarray}
\small{左 辺}&=&4x-15\\[5px]
&=&4 \times 3-15\\[5px]
&=&12-15=-3\\[12px]
\small{右 辺}&=&6-3x\\[5px]
&=&6-3 \times 3\\[5px]
&=&6-(3 \times 3)\\[5px]
&=&6-9=-(9-6)\\[5px]
&=&-3
\end{eqnarray}
「左辺」＝「右辺」なので、方程式の解として正しいことがわかります。
次の \(2\) つの方程式を解いてみましょう。
| \((1)\quad 2x+5=-3x+20\) | \((2)\quad 4x-15=6-3x\) |
かっこを含む \(\boldsymbol{1}\) 次方程式
かっこを含む方程式を解く場合、\((\quad)\) をはずすことから始めます。
・かっこを含む方程式の解き方
\(\small{①}\) かっこをはずす
\(\small{②}\) 文字の項を左辺へ、定数項を右辺へ移項する
\(\small{③}\) 両辺を計算して整理する
\(\small{④}\) 文字の項の係数を \(1\) にする
例 題：
次の方程式の解を求めてみましょう。
\((1)\) まず、分配法則を用いてかっこをはずします
\begin{eqnarray}
& & \color{blue}{3x-2 \times 3=8+x}\\[5px]
& & 3x-(2 \times 3)=8+x\\[5px]
& & 3x-6=8+x\\[12px]
& & \small{文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項する}\\[12px]
& & 3x\color{red}{-x}=8\color{red}{+6}\\[12px]
& & \small{両辺を計算、整理する}\\[12px]
& & (3-1)x=14\\[5px]
& & 2x=14\\[12px]
& & \small{両辺を}\;\normalsize{2}\;\small{で割る}\\[12px]
& & 2x \div \color{red}{2}=14 \div \color{red}{2}\\[5px]
& & \small{あるいは、}\normalsize{14 \times \frac{1}{2}}\\[5px]
& & \boldsymbol{x=7}
\end{eqnarray}
\(x=7\) がこの方程式の解として正しいかどうかを確認するため、もとの方程式の \(x\) に \(7\) を代入します。
\begin{eqnarray}
\small{左 辺} &=& 3(x-2)\\[5px]
&=&3 \times (7-2)\\[5px]
&=&3 \times 5=15\\[12px]
\small{右 辺}&=&8+x\\[5px]
&=&8+7=15
\end{eqnarray}
よって、両辺の値が一致するので、方程式の解として正しいとわかります。
\((2)\) 最初に \((\quad)\) をはずします
\begin{eqnarray}
& & \color{blue}{4 \times (x-1)=5 \times (x+3)}\\[5px]
& & 4x-4 \times 1=5x+5 \times 3\\[5px]
& & 4x-4=5x+15\\[12px]
& & \small{文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項する}\\[12px]
& & 4x\color{red}{-5x}=15\color{red}{+4}\\[12px]
& & \small{両辺を計算、整理する}\\[12px]
& & -(5-4)x=19\\[5px]
& & -x=19\\[12px]
& &\small{両辺を}\;\small{\color{red}{-1}}\;\small{で割る}\\[12px]
& & -x \div (-1)=19 \div (-1)\\[5px]
& & \boldsymbol{x=-19}
\end{eqnarray}
\(x=-19\) が方程式の解として正しいかを確かめるため、もとの方程式の \(x\) に \(-19\) を代入します。
\begin{eqnarray}
\small{\text{左 辺}} &=& 4(x-1)\\
&=&4 \times (-19-1)\\
&=&4 \times (-20)=-80\\[10px]
\small{\text{右 辺}}&=&5(x+3)\\
&=&5 \times (-19+3)\\
&=&5 \times (-16)=-80
\end{eqnarray}
よって、両辺の値が一致するので方程式の解として正しいとわかります。
次の方程式の解を求めてみましょう。
| \((1)\quad 3(x-2)=8+x\) | \((2)\quad 4(x-1)=5(x+3)\) |
応 用
\[\color{darkblue}{3(x-5)=6(x+4)}\] のような方程式では、かっこの前についている \(2\) 数が「\(3\) の倍数」の関係にあることに着目して、等式の性質を利用し、両辺を \(3\) で割ります。数が小さければ、それだけ計算が楽になります。 \begin{eqnarray} & & 3(x-5) \times \frac{1}{3}=6(x+4) \times \frac{1}{3}\\[5px] & & x-5=2x+8\\[5px] & & x-2x=8+5\\[5px] & & -x=13\\[5px] & & \boldsymbol{x=-13} \end{eqnarray}分数を含む \(\boldsymbol{1}\) 次方程式
分数を含む \(1\) 次方程式では、通分などの分数計算が面倒な場合、等式の性質、| 等式の両辺に同じ数を掛けても、その等式は成り立つ |
・分数を含む \(1\) 次方程式の解き方
両辺に含まれる分母の
公倍数を掛けて分数を含まない式
に直してから両辺を計算して、
式を整理する
例 題：
次の方程式の解を求めてみましょう。
\((1)\) \(\cfrac{4}{3}\) の分母 \(3\) をはらって、分数を含まないようにするために式の両辺に \(3\) を掛けます
\begin{eqnarray}
& & 3x-\cfrac{4}{3}=x+2\\[12px]
& & \small{式の両辺に}\;\normalsize{\color{red}{3}}\;\small{を掛ける}\\[12px]
& & \left(3x-\cfrac{4}{3} \right) \times 3=(x+2) \times 3\\[12px]
& & \small{分配法則を利用して、}\\[12px]
& & 3x \times 3-\left(\frac{4}{3} \times 3 \right)\\[5px]
& & =x \color{red}{\times 3}+2 \color{red}{\times 3}\\[12px]
& & 9x-4=3x+6\\[5px]
& & 9x-3x=6+4\\[5px]
& & 6x=10\\[12px]
& & \small{式の両辺を}\;\normalsize{\color{red}{6}}\;\small{で割る}\\[12px]
& & 6x \div \color{red}{6}=10 \div \color{red}{6}\\[5px]
& & x=\frac{10}{6}\\[5px]
& & \hspace{7px}=\frac{5}{3}
\end{eqnarray}
\(x=\cfrac{5}{3}\) がこの方程式の解として正しいかを確かめるために、もとの方程式の \(x\) に \(\cfrac{5}{3}\) を代入して、
\begin{eqnarray}
\small{左 辺} &=&{3x-\frac{4}{3}}\\[5px]
&=& 3 \times \frac{5}{3}-\frac{4}{3}\\[5px]
&=& 5-\frac{4}{3}\\[5px]
&=& \frac{15-4}{3}\\[5px]
&=& \boldsymbol{\frac{11}{3}}\\[12px]
\small{右 辺} &=& \normalsize{x+2}\\[5px]
&=& \frac{5}{3}+2\\[5px]
&=& \frac{5+6}{3}\\[5px]
&=& \boldsymbol{\frac{11}{3}}
\end{eqnarray}
よって、両辺の値が一致するので方程式の解として正しいとわかります。
\((2)\) 両辺に分数を含むので、\(2\) つの分母の公倍数を掛けて分数を含まない式に直します。
\begin{eqnarray}
& & \frac{x+1}{2}=\frac{2x-1}{3}\\[12px]
& & \normalsize{2}\;\small{と}\;\normalsize{3}\;\small{の公倍数}\;\normalsize{6}\;\small{を式の両辺に掛ける}\\[5px]
& & \left(\cfrac{x+1}{2} \right) \times 6=\left(\cfrac{2x-1}{3} \right) \times 6\\[12px]
& & \small{分配法則を利用して、}\\[12px]
& & 3(x+1)=2(2x-1)\\[5px]
& & \color{blue}{3x+3=4x-2}\\[5px]
& & 3x-4x=-2-3\\[5px]
& & -(4-3)x=-(2+3)\\[5px]
& & -x=-5\\[12px]
& & \small{両辺を}\;\normalsize{\color{red}{-1}}\;\small{で割る}\\[12px]
& & -x \div \color{red}{(-1)}=-5 \div \color{red}{(-1)}\\[5px]
& & \boldsymbol{x=5}
\end{eqnarray}
\(x=5\) がこの方程式の解として正しいかを確かめるために、
もとの方程式の \(x\) に \(5\) を代入して、
\begin{eqnarray}
\small{\text{左 辺}} &=& \frac{x+1}{2}\\
&=& \frac{5+1}{2}\\
&=& \frac{6}{2}=3\\[10px]
\small{\text{右 辺}} &=& \frac{2x-1}{3}\\
&=& \frac{2 \times 5-1}{3}=\frac{10-1}{3}\\
&=& \frac{9}{3}=3
\end{eqnarray}
よって、両辺の値が一致するので方程式の解として正しいとわかります。
次の方程式の解を求めてみましょう。
| \((1)\quad 3x-\cfrac{4}{3}=x+2\) | \((2)\quad \cfrac{x+1}{2}=\cfrac{2x-1}{3}\) |
小数を含む \(\boldsymbol{1}\) 次方程式
分数を含む方程式と同じように、式の両辺にある数を掛けて小数を整数に直します。
・小数を含む \(1\) 次方程式
両辺にある数を掛けて
小数を含まない式に直してから
文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項後、
式を整理する
次の方程式を解いてみましょう。
| \((1)\) \(1.8x-3.8=3.7x\) | \((2)\) \(4.4x+7=-0.6x-3\) |