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正多面体

いろいろな立体の意味や特徴を理解するとともに、直線や平面の位置関係を用語を用いて正しく説明する方法を学びます。立体の見取り図から展開図をかく方法を理解することは重要で展開図から最短距離を導き出す問題がしばしば出題されます。

 
空間図形 主な学習のポイント
・いろいろな多面体について理解する
・直線や平面の位置関係をマスターする
・立体の構造と面積・体積の求め方を学ぶ 
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

1.正多面体

4つ以上の平面だけで囲まれた立体を多面体(ためんたい) といいます。三角形や四角形のように、1つではなく〈多〉くの平〈面〉から構成される立〈体〉 だから、多面体と覚えましょう。 多面体の中で、形も大きさも同じ多角形(= 正多角形)で囲まれ、頂点に集まる面の数がすべて等しい立体を「正多面体」といいます。

正多面体は上の5つだけである。 これら、5つの正多面体についての性質を、次の表にまとめます。


要点を整理
・正多面体の面の形
 ―― 大きさの同じ多角形(正多角形)
・1つの頂点に集まる面の数
 ―― それぞれ同じ数

正多面体の面はすべて正多角形であるから、1つの頂点に集まる面の数はすべて等しい。したがって、 どれか1つの頂点に注目して、そこに集まる面の数を数えればよい。

・面の数
 ―― 多面体の名前の数

多面体の名前は、「持っている面の数」からなる立体から来ています

・辺の数
 ―― 「1つの面における辺の数」 × 「面の数」 ÷ 2

それぞれの正多面体の1つの面に辺の数は「1つの面の中にある辺の数」×「面の数」 だけあると考えられるますが、多面体はそれぞれの辺が重なり合ってできていますので、この関係式が成り立ちます。この関係式に基づいて、それぞれの正多角形の辺の数と頂点の数を求めてみましょう。

辺の数を求める計算


正四面体
 = (3 × 4)÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6

正六面体
 = (4 × 6)÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12

正八面体
 = (3 × 8)÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12

正十二面体
 =( 5 × 12)÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30

正十二面体
 =(3 × 20)÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30

・頂点の数
 ―― 「1つの面が持つ頂点の数」 × 「面の数」
    ÷ 「1つの頂点に集まる面の数」

それぞれの正多面体の1つの面には頂点が「1つの面が持つ頂点の数」 × 「面の数」であると考えられますが、辺と同じく、それぞれの頂点を重ね合わせて立体はできているので、それを考慮に入れる必要があります。 実際に、この関係式が成り立つか確かめてみましょう。

頂点の数を求める計算


正四面体
 = (3 × 4)÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4

正六面体
 = (4 × 6)÷ 3 = 24 ÷ 3 = 8

正八面体
 = (3 × 8)÷ 4 = 24 ÷ 4 = 6

正十二面体
 = (5 × 12)÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20

正二十面体
 = (3 × 20)÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12

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