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正多面体

表面が、平面や円状、球状などを含む \(3\) 次元の空間的な広がりをもつ物体を立体といい、立方体、角柱、円錐、球などがあげられます。そのうち、 \(4\) つ以上の平面だけで囲まれた立体を多面体(ためんたい) といいます。三角形や四角形のように、\(1\) つではなく〈多〉くの平〈面〉から構成される立〈体〉 だから、多面体と覚えましょう。 多面体の中で、形も大きさも同じ多角形 \((=\)正多角形\()\) で囲まれ、頂点に集まる面の数がすべて等しい立体を 「正多面体」といいます。

空間図形 主な学習のポイント
・いろいろな多面体について理解する
・直線や平面の位置関係をマスターする
・立体の構造と面積・体積の求め方を学ぶ
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

正多面体は上の \(5\) つだけになります。 これら、 \(5\) つの正多面体についての性質を、次の表にまとめます。

面の形 \(1\) つの頂点に
集まる面の数
面の数 辺の数 頂点の数
正四面体 正三角形 \(3\) \(4\) \(6\) \(4\)
正六面体 正方形 \(3\) \(6\) \(12\) \(8\)
正八面体 正三角形 \(4\) \(8\) \(12\) \(6\)
正十二面体 正五角形 \(3\) \(12\) \(30\) \(20\)
正二十面体 正三角形 \(5\) \(20\) \(30\) \(12\)

正多面体の性質

・正多面体の面の形
―― 正多角形
・\(1\) つの頂点に集まる面の数
―― 同じ数

正多面体の面はすべて正多角形ですから、\(1\) つの頂点に集まる面の数はすべて同じ。したがって、 どれか \(1\) つの頂点に注目して、そこに集まる面の数を数えればよいことになります。

・面の数 ―― 多面体の名前の数

多面体の名前は、「持っている面の数」から成る立体から来ています

・辺の数 \(\{\)[\(\boldsymbol{1}\) つの面が持つ辺の数]\(\times\)[面の数]\(\}\;\div\) \(\boldsymbol{2}\)

正多面体の \(1\) つの面には、辺の数が「\(1\) つの面が持つ辺の数」×「面の数」 だけあると考えられるますが、それぞれの辺が重なり合って多面体を形づくっていますから、 重なり合った部分を省くために \(2\) で割ります。この関係式に基づいて、それぞれの正多角形の辺の数と頂点の数を求めてみましょう。

辺の数を求める計算

\begin{eqnarray} ・\small{\text{正四面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(3 \times 4) \div 2}}\\[5px] &=&12 \div 2\\[5px] &=&\boldsymbol{6}\\[10px] ・\small{\text{正六面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(4 \times 6) \div 2}}\\[5px] &=&24 \div 2\\[5px] &=&\boldsymbol{12}\\[10px] ・\small{\text{正八面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(3 \times 8) \div 2}}\\[5px] &=&24 \div 2\\[5px] &=&\boldsymbol{12}\\[10px] ・\small{\text{正十二面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(5 \times 12) \div 2}}\\[5px] &=&60 \div 2\\[5px] &=&\boldsymbol{30}\\[10px] ・\small{\text{正二十面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(3 \times 20) \div 2}}\\[5px] &=&60 \div 2\\[5px] &=&\boldsymbol{30} \end{eqnarray}

頂点の数 \(\{\)[\(\boldsymbol{1}\) つの面が持つ頂点の数]\(\times\)[面の数]\(\}\;\div\)[\(\boldsymbol{1}\) つの頂点に集まる面の数]

正多面体の \(1\) つの面には、「\(1\) つの面が持つ頂点の数」 \(\times\) 「面の数」 だけ頂点があると考えられますが、 それぞれの頂点は重なり合っています。したがって、正多面体の各頂点に集まる面の数で割る必要があります。

頂点の数を求める計算

\begin{eqnarray} ・\small{\text{正四面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(3 \times 4) \div 3}}\\[5px] &=&12 \div 3\\[5px] &=&\boldsymbol{4}\\[10px] ・\small{\text{正六面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(4 \times 6) \div 3}}\\[5px] &=&24 \div 3\\[5px] &=&\boldsymbol{8}\\[10px] ・\small{\text{正八面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(3 \times 8) \div 4}}\\[5px] &=&24 \div 4\\[5px] &=&\boldsymbol{6}\\[10px] ・\small{\text{正十二面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(5 \times 12) \div 3}}\\[5px] &=&60 \div 3\\[5px] &=&\boldsymbol{20}\\[10px] ・\small{\text{正二十面体}}&=&\normalsize{\color{blue}{(3 \times 20) \div 5}}\\[5px] &=&60 \div 5\\[5px] &=&\boldsymbol{12} \end{eqnarray}

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