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立体の表面積と体積

表面が、平面や円、球などを含む \(3\) 次元の空間的な広がりをもつ立体において、その表面の面積を合わせたものを表面積といいます。

底面積 \(=1\) つの底面の面積
側面積 \(=\) 側面の面積の総和
表面積 \(=\) すべての面の面積の和

角柱・円柱の表面積

角柱や円柱など、柱状の立体は、底面と側面からなっていて、それらを合わせたものが表面積になります。

図のように、角柱や円柱など柱状の立体は \(2\) つの底面と残りの側面から成っているので、その表面積は

角柱・円柱の表面積 \(\large{\;=\;}\)底面積 \(\large{\times}\; \Large{2}\; \large{+}\) 側面積

・注意点 数学では、「立体の \(\boldsymbol{1}\) つの底面の面積」がその定義になるので、「底面積を求めよ」 に対しては \(1\) つの底面について答える!

演 習

・次の立体の表面積を求めてみましょう。
 (はじめは解説を見ずに解いてください)

解答と解説を見る >

展開図を用いた角柱や円柱の表面積を求める計算では、側面積が次の式で求められることがわかります。

角柱・円柱の側面積 \(=\;\)底面の \(\boldsymbol{1}\) 周の長さ \(\times\) 角柱・円柱の高さ

直方体 \(\boldsymbol{ABCD-EFGH}\) の展開図

底面の \(1\) 周の長さ」は、角柱では各々の辺の長さの「和」であり、 円柱ではその円の円周の長さを表します。

角錐・円錐の表面積

一方、角錐や円錐には底面が\(\boldsymbol{1}\) つしかありませんので、表面積は次の式で表します。

角錐・円錐の表面積 \(\boldsymbol{=\;}\)底面積 \(\boldsymbol{+}\) 側面積

角錐の底面積 \(=\;\)多角形の面積
角錐の側面積 \(=\;\)(底面積の各辺と頂点を結ぶ三角形の面積) \(\times\) 多角形の辺の数
円錐の底面積 \(=\;\)円の面積
円錐の側面積 \(=\;\)母線を半径とするおうぎ形の面積

演 習

・次の立体の表面積を求めてみましょう。

解答と解説を見る >

円錐は、底面が円、側面がおうぎ形から成っており、他の立体に比べて表面積を求めるのに苦労します。よって、文字式を利用した公式をいくつか知っておきましょう。

・おうぎ形の中心角が分からない場合
―― 中心角が分からないときのおうぎ形の面積

上の展開図より、半径 \(R\) のおうぎ形と半径 \(r\) の円について、

半径 \(\boldsymbol{R}\) のおうぎ形の弧の長さ \(=\) 半径 \(\boldsymbol{r}\) の円の直径

から、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{\color{darkblue}{2 \times π \times R \times \frac{x}{360}=2πr}}\\[5px] & &\frac{x}{360}=\frac{2πr}{2πR}\\[5px] & &\boldsymbol{\color{blue}{\frac{x}{360}=\frac{r}{R}}} \end{eqnarray} つまり、

\(\cfrac{\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{のおうぎ形の中心角}}} {\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{の円の中心角}}}\) \(=\cfrac{\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{のおうぎ形の弧の長さ}}} {\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{の円周の長さ}}}\) \(=\cfrac{\mathbf{底面の半径}:\large{\boldsymbol{r}}}{\mathbf{母線の長さ}:\large{\boldsymbol{R}}}\)

これにより、おうぎ形の面積は、 \begin{eqnarray} & &\text{おうぎ形の面積}\\[7px] & &\quad\large{=πR^2 \times \frac{x}{360}}\\[7px] & &\quad\large{=πR^2 \times \frac{r}{R}}\\[7px] & &\quad\large{=\boldsymbol{\color{blue}{πRr}}} \end{eqnarray}

したがって、
底面積の半径 \(\boldsymbol{r},\) 母線の長さ \((=\)おうぎ形の半径\()\) \(\boldsymbol{R}\) の円錐の表面積
\(\boldsymbol{=}\;\)半径 \(\boldsymbol{r}\) の円の面積 \(\boldsymbol{+}\;\)半径 \(\boldsymbol{R}\) のおうぎ形の面積
\(\boldsymbol{\color{blue}{=πr^2+πRr}}\)

立体の体積

角柱や円柱の体積は、
底面積 \(\times\) 高 さ
で求めることができます。この場合の「高さ」は、底面から底面までの距離をいいます。次の図形の体積を求めてみましょう。

四角柱の体積\(=\)底面積 (\(=\)長方形の面積) \(\times\) 高 さ
より、 \begin{eqnarray} & &=4 \times 3 \times 5\\[5px] & &=12 \times 5\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{60}}\;(cm^3) \end{eqnarray}

円柱の体積\(=\)底面積 (\(=\)円の面積) \(\times\) 高 さ
より、 \begin{eqnarray} & &=(3 \times 3 \times π) \times 5\\[5px] & &=9π \times 5\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{45π}}\;(cm^3) \end{eqnarray}

一方、角錐や円錐の体積は、 同じ底面と高さの角柱や円柱の体積の \(\boldsymbol{\cfrac{1}{3}}\) 倍になり、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{\frac{1}{3} \times \color{crimson}{\mathbf{角柱・円柱の体積}}}\\[7px] & &\boldsymbol{=\frac{1}{3} \times \color{crimson}{\mathbf{底面積 \times 高さ}}} \end{eqnarray} で表すことができます。

角錐・円錐の高さ

角錐・円錐において、
高さとは、
頂点から
底面におろした垂線の長さ
\(=\) 頂点から底面までの距離

次の立体の体積を求めてみましょう。

\(\boldsymbol{(1)}\) 正四角錐の底面は正方形
高さは、頂点から底面におろした垂線であるから、この立体の体積は \begin{eqnarray} & &=\frac{1}{3} \times 6 \times 6 \times 4\\[5px] & &=2 \times 6 \times 4\\[5px] & &=2 \times 24\\[5px] & &=\boldsymbol{48\;cm^3}\;\small{\text{… 答え}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(2)}\) 底面の半径が \(\boldsymbol{3\;cm}\) の円、高さが \(\boldsymbol{9\;cm}\) の円錐の体積 \begin{eqnarray} & &=\frac{1}{3} \times 3 \times 3 \times π \times 9\\[5px] & &=1 \times 3 \times π \times 9\\[5px] & &=\boldsymbol{27π\;cm^3}\;\small{\text{… 答え}} \end{eqnarray}

球の表面積と体積

ある点から一定の距離にある点の集合全体がつくる空間図形を(きゅう) といいます。球の表面積を求める場合、図のような中心 を \(\boldsymbol{O}\) として半径が \(\boldsymbol{r}\) の図形を考えます。

このとき、球の表面積は、図のような球の中心 \(O\) を通る面で切ったときにできる半径 \(\;r\;\) の円の \(\boldsymbol{4}\) 倍になるので、

\[\boldsymbol{\color{blue}{・球の表面積=4 \times (πr)^2=4πr^2}}\]

の式で表すことができます。次に、半径 \(\;r\;\) の球の体積を求める場合、球体を無数の角錐に分割する図を描きます。

この無数の角錐の体積の和が球の体積になります。 これら、\(1\) つ \(1\) つの角錐の体積は、

\[\boldsymbol{\color{blue}{\text{角錐の体積}=\text{底面積}\; \times \text{高さ}\;\times \cfrac{1}{3}}}\]

で表すことができ、角錐の高さはこの球の半径〈\(\;r\;\)〉に等しくなります。 そして、無数の角錐の底面がすべて合わされば球の表面になるから、

\[角錐の底面積の和 = 球の表面積\]

と言えます。 したがって、次の式で表すことができます。

\begin{eqnarray} \text{球の体積}&=&\color{crimson}{\text{角錐の体積の和}}\\[7px] &=&\color{crimson}{\text{底面積の和}} \times \text{高さ} \large{\times \frac{1}{3}}\\[7px] &=&\color{crimson}{\text{球の表面積}} \large{\times r \times \frac{1}{3}}\\[7px] &=&\large{4πr^2 \times r \times \frac{1}{3}}\\[7px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{\large{\frac{4}{3}πr^3}}} \end{eqnarray}

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