立体の表面積と体積
表面が、平面や円、球などを含む \(3\) 次元の空間的な広がりをもつ立体において、その表面の面積を合わせたものを表面積といいます。底面積 | \(=1\) つの底面の面積 |
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側面積 | \(=\) 側面の面積の総和 |
表面積 | \(=\) すべての面の面積の和 |
角柱・円柱の表面積
角柱や円柱など、柱状の立体は、底面と側面からなっていて、それらを合わせたものが表面積になります。角柱・円柱の表面積 | \(\large{\;=\;}\)底面積 \(\large{\times}\; \Large{2}\; \large{+}\) 側面積 |
・注意点 | 数学では、「立体の \(\boldsymbol{1}\) つの底面の面積」がその定義になるので、「底面積を求めよ」 に対しては \(1\) つの底面について答える! |
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角柱・円柱の側面積 | \(=\;\)底面の \(\boldsymbol{1}\) 周の長さ \(\times\) 角柱・円柱の高さ |
角錐・円錐の表面積
一方、角錐や円錐には底面が\(\boldsymbol{1}\) つしかありませんので、表面積は次の式で表します。角錐・円錐の表面積 | \(\boldsymbol{=\;}\)底面積 \(\boldsymbol{+}\) 側面積 |
角錐の底面積 | \(=\;\)多角形の面積 |
角錐の側面積 | \(=\;\)(底面積の各辺と頂点を結ぶ三角形の面積) \(\times\) 多角形の辺の数 |
円錐の底面積 | \(=\;\)円の面積 |
円錐の側面積 | \(=\;\)母線を半径とするおうぎ形の面積 |
―― 中心角が分からないときのおうぎ形の面積 上の展開図より、半径 \(R\) のおうぎ形と半径 \(r\) の円について、
半径 \(\boldsymbol{R}\) のおうぎ形の弧の長さ \(=\) 半径 \(\boldsymbol{r}\) の円の直径 |
\(\cfrac{\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{のおうぎ形の中心角}}} {\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{の円の中心角}}}\) | \(=\cfrac{\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{のおうぎ形の弧の長さ}}} {\mathbf{半径}\;\large{\boldsymbol{R}}\;\normalsize{\mathbf{の円周の長さ}}}\) | \(=\cfrac{\mathbf{底面の半径}:\large{\boldsymbol{r}}}{\mathbf{母線の長さ}:\large{\boldsymbol{R}}}\) |
底面積の半径 \(\boldsymbol{r},\) 母線の長さ \((=\)おうぎ形の半径\()\) \(\boldsymbol{R}\) の円錐の表面積
\(\boldsymbol{=}\;\)半径 \(\boldsymbol{r}\) の円の面積 | \(\boldsymbol{+}\;\)半径 \(\boldsymbol{R}\) のおうぎ形の面積 |
\(\boldsymbol{\color{blue}{=πr^2+πRr}}\) |
立体の体積
角柱や円柱の体積は、底面積 \(\times\) 高 さ |
より、 \begin{eqnarray} & &=4 \times 3 \times 5\\[5px] & &=12 \times 5\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{60}}\;(cm^3) \end{eqnarray} 円柱の体積\(=\)底面積 (\(=\)円の面積) \(\times\) 高 さ
より、 \begin{eqnarray} & &=(3 \times 3 \times π) \times 5\\[5px] & &=9π \times 5\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{45π}}\;(cm^3) \end{eqnarray} 一方、角錐や円錐の体積は、 同じ底面と高さの角柱や円柱の体積の \(\boldsymbol{\cfrac{1}{3}}\) 倍になり、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{\frac{1}{3} \times \color{crimson}{\mathbf{角柱・円柱の体積}}}\\[7px] & &\boldsymbol{=\frac{1}{3} \times \color{crimson}{\mathbf{底面積 \times 高さ}}} \end{eqnarray} で表すことができます。
高さは、頂点から底面におろした垂線であるから、この立体の体積は \begin{eqnarray} & &=\frac{1}{3} \times 6 \times 6 \times 4\\[5px] & &=2 \times 6 \times 4\\[5px] & &=2 \times 24\\[5px] & &=\boldsymbol{48\;cm^3}\;\small{\text{… 答え}} \end{eqnarray} \(\boldsymbol{(2)}\) 底面の半径が \(\boldsymbol{3\;cm}\) の円、高さが \(\boldsymbol{9\;cm}\) の円錐の体積 \begin{eqnarray} & &=\frac{1}{3} \times 3 \times 3 \times π \times 9\\[5px] & &=1 \times 3 \times π \times 9\\[5px] & &=\boldsymbol{27π\;cm^3}\;\small{\text{… 答え}} \end{eqnarray}
球の表面積と体積
ある点から一定の距離にある点の集合全体がつくる空間図形を球(きゅう) といいます。球の表面積を求める場合、図のような中心 を \(\boldsymbol{O}\) として半径が \(\boldsymbol{r}\) の図形を考えます。
\[角錐の底面積の和 = 球の表面積\]
と言えます。 したがって、次の式で表すことができます。
\begin{eqnarray}
\text{球の体積}&=&\color{crimson}{\text{角錐の体積の和}}\\[7px]
&=&\color{crimson}{\text{底面積の和}} \times \text{高さ} \large{\times \frac{1}{3}}\\[7px]
&=&\color{crimson}{\text{球の表面積}} \large{\times r \times \frac{1}{3}}\\[7px]
&=&\large{4πr^2 \times r \times \frac{1}{3}}\\[7px]
&=&\boldsymbol{\color{blue}{\large{\frac{4}{3}πr^3}}}
\end{eqnarray}