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正の数・負の数の計算1

整数に正の数や負の数を加えたり減じたりするときの「約束ごと」を覚えます。

正の数・負の数:「加法と減法」

1.整数に正の数を加えたり減じたりする
 数直線を見ながら、下の数式を考えてみましょう。

(1) 5 + 3(2) 5 - 3
(3) (-3) + 6(4) 3 - 6

(1)と(2)は、数直線を見なくても、小学校の算数で学習したことなのですぐに答えを出せますが、考え方を整理するために 数直線を使うことにします。数直線上で 「5 + 3」 は、

「5 の点から 3つ正の方向に移動して 8 に進む」

ことを表します。 よって、

5 + 3 = 8

同じく、「5 - 3」は、

「5 の点から 3つ負の方向に移動して 2 に進む」

ことになるので、

5 - 3 = 2

になります。

(3)と(4)についても、同じようにして考えます。

(3) (-3) + 6
 ―― 負の数〈 -3 〉に正の数〈 6 〉を加える

= 「-3 の点から 6 つ正の方向に移動して 3 に進む」
∴ (-3) + 6 = 3

(4)3 - 6
 ―― 正の数 3 から正の数 6 を減じる

= 「3 の点から 6つ負の方向に移動して -3 に進む」
∴ 3 - 6 = -3

これらのことから、「整数+正の数」 と 「整数-正の数」には次のような決まりごとがあります。

・決まりごと


2.整数に負の数を加えたり減じたりする
 次に、負の数を加えたり減じたりするとどうなるかを考えます。

(1) 4 + (-7)
(2)(-4) − (-7)

(1) 4 + (-7)
 ―― 4 の点から正の方向に〈 -7 〉移動する
正の方向に -7 移動するというのは、前に習った「反対の性質の数量は正負の符号を用いて表現できる」とあるように、

正の方向に -7 移動する = 負の方向に 7 移動する

と考えることができます。

よって、

4 + (-7) =  4 - 7 = -3

となります。

(2)(-4) - (-7)
 ―― -4 の点から負の方向に〈 -7 〉移動する
から、

負の方向に -7 移動する = 正の方向に 7 移動する

と考えて、

(-4) - (-7) = (-4) + 7 = 3

これらのことから、 「整数+負の数」 と 「整数-負の数」 には次の決まりごとが成り立ちます。

・決まりごと

負の数を足したり引いたりするのは、正の数のときとは反対になっていることに気がつきます。 正の数と負の数の計算は、慣れるまでは数直線をかいて理解するようにし、慣れてきたら頭の中に数直線をイメーして答えられるようにします。


2数の和

数の足し算は、数を(加)える計算方(法)という意味から(   )内のことばを抜き出して 加法(かほう)といい、加法で得られた答えのことを「和」といいます。 一方、引き算は、数を(減)じる計算方(法)から、 減法(げんぽう)といい、 その答えを「差」といいます。また、加法と減法を合わせて「加減」と言ったりします。

次の 4つの加法の式の和を求めてみましょう。

(1)(+1) + (+4) (2)(-1) + (- 4)
(3)(- 4) + (+4) (4)(+1) + (- 4)
 

最初に、数直線の原点「0」を基準にして、2つの数の動きを見てみましょう。

(1)(+1) + (+4)
 ―― 原点から正の方向に 1 だけ移動した後、そこからさらに正の方向に 4 移動する

∴  (+1) + (+4) = +5

(2)(-1) + (-4)
 ―― 原点から負の方向に 1 だけ移動した後、そこからさらに負の方向に 4 移動する

∴  (-1) + (-4) = -5

・(1)と(2)の計算でわかること 数直線を見て分かる通り、 2数の符号が同じものの和はその符号と同じになります。

正の符号(+)の2数の和 = 正の符号の数
負の符号(-)の2数の和 = 負の符号の数

つまり、

同符号の2数の和は
2数の絶対値の和に
その符号をつけて表す

(+1) + (+4) = +(1 + 4) = +5
(-1) + (-4) = -(1 + 4) = -5

(3)(-1) + (+4)
 ―― 負の方向へ 1 だけ移動した後、そこからさらに正の方向に 4 移動する

∴  (-1) + (+4) = +3

(4) (+1) + (-4)
 ―― 正の方向へ 1 だけ移動し、次に、そこからさらに負の方向に 4 移動する

∴  (+1) + (-4) = -3

・(3)と(4)の計算でわかること
 異なる符号の2数の加法では、足される数が正の数でも負の数でも、原点から最初に移動した 数の方向と反対方向に足す数が移動することで、足される数が足す数に飲み込まれ、打ち消された形になっています。 そして、移動した2数のうちで、一方を打ち消した方の数の符号が「和」につくことになります。つまり、

異符号の2数の和は
2数の絶対値の差になり
絶対値の大きい方の符号がつく

(-1) + (+4) = +(4 - 1) = +3
(+1) + (-4) = -(4 - 1) = -3

2 数の差

2数の差を求めるルールを定めるために、次の計算をしてみましょう。

(1)2 - (-2)  (2) 3 - 5

(1)2 - (-2)
 ―― 2から -2 を引く
 「反対の性質の数量」を利用して、「2 に +2 を加える」と言い直せるので、

2 - (-2)
 = 2 + 2

また、これは 2 + 2 = (+2) + (+2) のことで、 「同符号の2数の和」 と考えられるので、

2 + 2
 = +(2 + 2) = 4
 

(2) 3 - 5
 ―― 3から+5 を引く = 3に -5 を加える
から、

3 - 5 = 3 + (-5)

これを「異符号の2数の和」のルールに従って、

3 - 5 = 3 + (-5)
= - (5- 3) = -2

減法は加法に直すことで、 2数の和を求めるルールを使って計算できます。


少数、分数を含む加法・減法

少数や分数を含む式においても、これまでの計算のルールにしたがいます。
・同符号の 2 数の和
 ――同じ符号をつけた 2 数の絶対値の和

・異符号の 2 数の和
 ――大きい方の絶対値の符号をつけたその絶対値の差

また、少数や分数を含む式の減法も、加法に直して計算を楽にできます。


式の項と計算の決まりごと

4 + (-5) や、4 - (-5) のような式で、足す〈 + 〉や引く〈-〉の記号で結ばれた数や文字のことをその式の (こう)といいます。 また、式の「 4 」を正の項と呼び、「 -5 」を負の項といいます。

・計算上の決まりごと
 4 + (-5) のような式の場合、(   )を省略すると 4 + - 5 のように、〈 + 〉と〈-〉のどちらが加減を 表す記号で、どちらが正負を表す記号なのかまぎらわしくなるので、このような式の場合は(   )を省略できません。 一方、 (-4) +5 のような式では

→ - 4 + 5

と(   )を省略しても式の意味が理解できるので、省略しても問題ありません。


加法の交換法則

足し算(加法)だけの式では、 2 + 3 = 3 + 2 のように項の順番を変えてもその和は同じ 5 になります。 これを「加法の交換法則」といいます。 交換法則は、正の項ばかりでなく負の項にも当てはまります。

→ (- 2) + (-3) = (-3) + (-2)

加法の結合法則

足し算(加法)だけの式では、 (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) のように加える数のまとめ方を変えてもその「和」 変わりません。これを「加法の結合法則」といいます。

(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

これらの法則は加法についてだけ成り立ち、減法では成り立たないことに注意します。


3つ以上の項を含む加法・減法

加法の交換法則結合法則を使えば、項の計算の順番を変えても、どのようにまとめてもその「和」は同じなので、 3つ以上の項を含む式では、最初に加法に直してから「計算しやすいところから自由に」計算してもよいということになります。 たとえば、 (-9) +23+17-16 のような式を計算する場合、

(-9) + 23 + 17 - 16
 = + (23 - 9) + 17 - 16
 = 14 + 17 -16
 = + (14 + 17) - 16
 = 31 - 16
 = 15

と、左から順に計算すべきところですが、加法の交換法則や結合法則を使って正の項と負の項をまとめるなど簡単な式に変えて計算できます。

(-9) + 23 + 17 - 16
 = (- 9) + (-16) + (+23) + (+17)
 ← 加法に直す
 = - (9 + 16) + (23 + 17)
 ← 正の項と負の項をまとめる
 = (- 25) + 40
 = + (40 - 25)
 = 15

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