受験生や独学する一般人のための学習サイト

  

正負の数:加法と減法

整数に、正の数や負の数を足したり引いたりする場合、数直線を利用して、計算するときの数の動きを理解します。

整数に正の数を足す・引く

数直線を見ながら、下の数式を考えてみましょう。

\((1)\quad 5+3\) \((2)\quad 5-3\)
\((3)\quad (-3)+6\) \((4)\quad 3-6\)

\((1)\) と \((2)\) は、数直線を見なくてもすぐに答えを出せますが、考え方を整理するために 数直線を使うことにします。数直線上で 「\(5+3\)」 は、

「\(\boldsymbol{5}\) の点から \(\boldsymbol{3}\) つ正の方向に移動して  \(\boldsymbol{8}\) に進む」

ことを表します。

よって、 \[\large{\boldsymbol{\color{blue}{5+3=8}}}\]

同じく、「\(5-3\)」は、

「\(\boldsymbol{5}\) の点から \(\boldsymbol{3}\) つ負の方向に移動して \(\boldsymbol{2}\) に進む」

ことになるので、

\[\large{\boldsymbol{\color{blue}{5-3=2}}}\]

\(\boldsymbol{(3)\quad(-3)+6}\)
―― 負の数〈\(-3\)〉に正の数〈\(6\)〉を足す

「\(\boldsymbol{-3}\) の点から \(\boldsymbol{6}\) つ正の方向に移動 して \(\boldsymbol{3}\) に進む」

よって、 \[\large{\boldsymbol{\color{blue}{(-3)+6=3}}}\]

\(\boldsymbol{(4)\quad 3-6}\)
 ―― 正の数 \(3\) から正の数 \(6\) を引く

「\(\boldsymbol{3}\) の点から \(\boldsymbol{6}\) つ負の方向に移動 して \(\boldsymbol{-3}\) に進む」

よって、 \[\large{\boldsymbol{\color{blue}{3-6=-3}}}\]

これらのことから、次のようなことが言えます。

整数\(+\)正の数 =整数を正の方向に加えた数だけ移動させる

整数\(-\)正の数 =整数を負の方向に引いた数だけ移動させる

整数に負の数を足す・引く

次に、負の数を加えたり減じたりするとどうなるかを考えます。
\((1)\quad 4+(-7)\) \((2)\quad (-4)-(-7)\)

\(\boldsymbol{(1)\quad 4+(-7)}\)
―― 正の数 \(4\) に負の数 \((-7)\) を足す

前に習った「反対の性質の数量は正負の符号を用いて表現できる」 から、

\(\boldsymbol{4}\) に \(\boldsymbol{-7}\) を足す \(=\) \(\boldsymbol{4}\) から \(\boldsymbol{7}\) を引く

と考えることができます。

よって、 \begin{eqnarray} & &\large{4+(-7)}\\[5px] & &\;\large{=\boldsymbol{\color{blue}{4-7=-3}}} \end{eqnarray} となります。

\(\boldsymbol{(2)\quad (-4)-(-7)}\)
―― 負の数 \(-4\) から負の数 \((-7)\) を引く

\(\boldsymbol{-4}\) から \(\boldsymbol{-7}\) を引く \(=\) \(\boldsymbol{-4}\) に \(\boldsymbol{7}\) を加える

と考えます。

よって、 \begin{eqnarray} & &\large{(-4)-(-7)}\\[5px] & &\;\large{=\boldsymbol{\color{blue}{(-4)+7=3}}} \end{eqnarray}

これらのことから、

整数\(+\)負の数 =整数を負の方向に加えた数だけ移動させる

整数\(-\)負の数 =[\(-\)負の数]を[\(+\)正の数]に変えて、整数をその分だけ正の方向に移動させる

負の数を足したり引いたりするのは、正の数のときとは反対になっていることに気がつきます。 正の数と負の数の計算は、慣れるまでは数直線をかいて理解するようにし、 慣れてきたら頭の中に数直線をイメーして答えられるようにします。

2数の和

数の足し算は、数を(加)える計算方(法)という意味から(   )内のことばを抜き出して 加法(かほう)といい、 加法で得られた答えのことを「」といいます。 一方、引き算は、数を(減)じる計算方(法)から、 減法(げんぽう)といい、 その答えを「」といいます。また、加法と減法を合わせて「加減」ともいいます。

次の式の和を求めましょう。

\((1)\quad(+1)+(+4)\) \((2)\quad(-1)+(-4)\)
\((3)\quad(-1)+(+4)\) \((4)\quad(+1)+(-4)\)

数直線の原点「\(0\)」を基準にして、\(2\) つの数の動きを見てみましょう。

\(\boldsymbol{(1)\quad (+1)+(+4)}\)
―― 正の数 \(1\) に正の数 \(4\) を加える

数直線より、原点から正の方向に \(1\) だけ移動した後、さらに正の方向に \(4\) 移動します
よって、 \[\boldsymbol{\color{blue}{(+1)+(+4)=+5}}\]

\(\boldsymbol{(2)\quad (-1)+(-4)}\)
 ―― 負の数 \(-1\) に負の数 \(-4\) を加える

原点から負の方向に \(1\) だけ移動した後、さらに負の方向に \(4\) 移動します
よって、 \[\boldsymbol{\color{blue}{(-1)+(-4)=-5}}\]

・\((1)\) と \((2)\) の計算でわかること
 \(2\) 数の符号が同じものの和はその符号と同じになります。

正の符号[\(\;+\;\)] の \(\boldsymbol{2}\) 数の和 \(\;=\;\)正の符号の数
負の符号[\(\;-\;\)] の \(\boldsymbol{2}\) 数の和 \(\;=\;\)負の符号の数

つまり、
同符号の \(\boldsymbol{2}\) 数の和は \(\boldsymbol{2}\) 数の絶対値の和 にその符号をつけて表す

\begin{eqnarray} (+1)+(+4)&=&\color{blue}{+(1+4)}\\[5px] &=&\boldsymbol{+5}\\[10px] (-1)+(-4)&=&\color{blue}{-(1+4)}\\[5px] &=&\boldsymbol{-5} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(3)\quad (-1)+(+4)}\)
―― 負の数 \((-1)\) に正の数 \(+4\) を加える

負の方向へ \(1\) だけ移動した後、そこから正の方向に \(4\) 移動します \[\boldsymbol{\color{blue}{(-1)+(+4)=+3}}\]

\(\boldsymbol{(4)\quad (+1)+(-4)}\)
―― 正の数 \(1\) に負の数 \(-4\) を加える

正の方向へ \(1\) だけ移動した後、そこから負の方向に \(4\) 移動する \[\boldsymbol{\color{blue}{(+1)+(-4)=-3}}\]

・\(\boldsymbol{(3)}\) と \(\boldsymbol{(4)}\) の計算でわかること
 異なる符号の \(2\) 数の加法では、足される数が正の数でも負の数でも、原点から最初に移動した 数の方向と反対方向に足す数が移動することで、足される数が足す数に飲み込まれ、打ち消された形になっています。 そして、移動した \(2\) 数のうちで、一方を打ち消した方の数の符号が「 \(2\) 数の和」につくことになります。つまり、

異符号の \(\boldsymbol{2}\) 数の和は \(\boldsymbol{2}\) 数の絶対値の差になり 絶対値の大きい方の符号がつく

\begin{eqnarray} (-1)+(+4)&=&+(4-1)\\[5px] &=&\boldsymbol{+3}\\[10px] (+1)+(-4)&=&-(4-1)\\[5px] &=&\boldsymbol{-3} \end{eqnarray}

2 数の差

\(2\) 数の差を求めるルールを定めるために、次の計算をしてみましょう。
\((1)\quad 2-(-2)\) \((2)\quad 3-5\)

\(\boldsymbol{(1)\quad 2-(-2)}\)
 ―― \(2\) から \(-2\) を引く
 「反対の性質」を利用して、

\(2\) に \(+2\) を足す

と言い直せるので、 \begin{eqnarray} 2-(-2)&=&\color{red}{2+2}\\[5px] &=&\boldsymbol{4} \end{eqnarray} また、これは \[2+2=(+2)+(+2)\] のことで、「同符号の \(2\) 数の和」と考えられるので、 \begin{eqnarray} 2+2&=&\color{blue}{+(2+2)}\\[5px] &=&\boldsymbol{4}\;\small{\text{ … 答え}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(2)\quad 3-5}\)
 ―― \(3\) から \(+5\) を引く
数直線上では、\(3\) に \(-5\) を加える となります。これを「異符号の \(2\) 数の和」のルールに従って、 \begin{eqnarray} 3-5&=&3+(-5)\\[5px] &=&\color{blue}{-(5-3)}\\[5px] &=&\boldsymbol{-2}\;\small{\text{ … 答え}} \end{eqnarray} 減法は加法に直すことで、「 \(2\) 数の和」のルールを使って計算できます。

少数、分数を含む加法・減法

少数や分数を含む式においても、
・同符号の \(\boldsymbol{2}\) 数の和 \(=\) その符号の \(\boldsymbol{2}\) 数の絶対値の和
・異符号の \(\boldsymbol{2}\) 数の和 \(=\) \(\boldsymbol{2}\) 数の絶対値の差に大きい方の絶対値の符号をつける

また、少数や分数を含む式の減法も、加法に直して計算を楽にできます。

式の項

\(4+(-5)\) や、\(4-(-5)\) では、〈\(\;+\;\)〉や〈\(\;-\;\)〉の記号で結ばれた数や文字をその式の (こう)といいます。 また、上の式の \(4\) を正の項、\(-5\) を負の項といいます。「項」は、式などを構成する要素という意味を表します。

・計算上の注意点
 \(4+(-5)\) のような式の場合、(   )を省略すると \(4+-5\) のように、〈\(\;+\;\)〉と〈\(\;-\;\)〉のどちらが加減を 表す記号で、どちらが正負を表す記号なのかまぎらわしくなるので、このような式の場合は(   )を省略できません。 一方、 (-4)+5 のような式では、 \[\large{-4+5}\] と(   )を省略しても式の意味が理解できるので、省略しても問題ありません。

交換法則・結合法則

足し算(加法)だけの式では、 \[\boldsymbol{2+3=3+2}\] のように項の順番を変えてもその和は同じ \(5\) になります。これを「加法の交換法則」といいます。 交換法則は、正の項ばかりでなく負の項にも当てはまります。 \[(-2)+(-3)=(-3)+(-2)\]

また、足し算(加法)だけの式では、 \[\boldsymbol{(2+3)+4=2+(3+4)}\] のように項同士のまとめ方を変えてもその「和」 変わりません。これを「加法の結合法則」といいます。 \begin{eqnarray} (2+3)+4&=&\color{red}{5}+4\\[5px] &=&\boldsymbol{9}\\[10px] 2+(3+4)&=&2+\color{red}{7}\\[5px] &=&\boldsymbol{9} \end{eqnarray}

これらの法則は加法についてだけ成り立ち、減法では成り立たないことに注意します。

3つ以上の項の計算

加法の交換法則結合法則を使えば、項の計算の順番を変えても、どのようにまとめてもその「和」は同じなので、 \(3\) つ以上の項を含む式では、最初に加法に直してから 「計算しやすいところから自由に」 計算してもよいということになります。 たとえば、\((-9)+23+17-16\) のような式を計算する場合、 \begin{eqnarray} & &(-9)+23+17-16\\[5px] & &\;=+(23-9)+17-16\\[5px] & &\;=14+17-16\\[5px] & &\;=31-16\\[5px] & &\;=\boldsymbol{15} \end{eqnarray} と、左から順に計算すべきところですが、加法の交換法則や結合法則を使って正の項と負の項をまとめるなど簡単な式に変えて計算できます。 \begin{eqnarray} & &(-9)+23+17-16\\[5px] & &=\color{blue}{(-9)+(-16)+(+23)+(+17)}\\[5px] & &←\;\small{\text{加法に直す}}\\[5px] & &=-(9+16)+(23+17)\\[5px] & &←\;\small{\text{正の項と負の項をまとめる}}\\[5px] & &=(-25)+40\\[5px] & &=+(40-25)\\[5px] & &=\boldsymbol{15} \end{eqnarray}

inserted by FC2 system