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正の数・負の数の計算2

正の数と負の数の乗法・除法では、符号が同じ2数の積と商は正の数になり、符号が異なる2数の積と商は負の数になる「決まり」があります。

正の数・負の数:乗法と除法

1.整数に正の数を乗じる(掛ける)
 加減法と同様に、数直線を見ながら次の数式を考えてみましょう。

(1)(+2) × (+4) (2)(-2) × (+4)

(1)の場合、正の符号〈 + 〉を省略することができるので、
 = 2 × 4(2 掛ける 4) 
と書き直すことができます。「2 に 4 を掛ける」は、「2 を 4回加える」と言いかえられ

2 × 4 = +2 + 2 + 2 + 2

となります。これを数直線上に表すと、 原点「0」を基準として正の方向に 2 移動するのを 4回くり返して、 8 に進むことになります。

(+2) × (+4) = 8

このように、正の数に正の数を掛けると正の数になります。

(2)の式も、正の数の前の符号〈 + 〉を省くことができるので、
 = (-2) × 4 (-2 掛ける4)  のように表現できます。
「-2 に 4 を掛ける」は、「-2 を 4回加える」という意味になり、

-2 × 4 = +(-2) + (-2) + (-2) + (-2)

これを、数直線上に表すと、原点「0」を基準として負の方向に 2 移動するのを 4回くり返して、 -8 に進むことになります。

(-2) × (+4) = - 8

このように、負の数に正の数を掛けると負の数になります。

2.整数に負の数を乗じる(掛ける)
 次の2つの式を計算してみましょう。

(1)(+2) × (- 4) (2)(- 2) × (- 4)

(1)正の符号〈 + 〉は省略できるので、
 = 2 ×(-4)(2 掛けるマイナス4)
「2に-4を掛ける」は、「2をマイナス4回加える」ことですが、 「反対の性質の数量表現」を利用して、「2 を 4回減らす(=引く)」 と言い直し、

(+2) × (-4)
 = -(+2) - (+2) - (+2) - (+2)
 = -2 - 2 - 2 - 2

これを数直線で見ると、原点「0」を基準にして負の方向へ 2 だけ移動することを 4回くり返して -8 に進むことになります。

(+2) × (-4) = -8

このように、正の数に負の数を掛けると負の数になり、 「-2 を 4回加える」 と結果として同じことになることがわかります。

(2) 「(-2)に(-4)を掛ける」は、「(-2)を (-4) 回加える = 4回減らす」ことになりますが、 「反対の性質の数量表現」を利用して、
 「-2 を 4回減らす(=引く)」 = 「2 を4回加える(=足す)」 ことになるのを、 この場合はっきり理解できません。そこで、次のような説明によって理解することができます。

〈説 明〉
 正の数 1 と 負の数 - 1 の2数について
 1 + (-1) = 0 ―― ①
 ① の式の両辺に -1 を掛ける
 1 × (-1) + (-1) × (-1) = 0 × (-1)
 1 × (-1) + (-1) × (-1) = 0 ―― ②
  (0にどんな数を掛けても積は0)
さらに、② の式の両辺に 1 を加える
 1 + 1 × (-1) + (-1) × (-1) = 1 + 0
 これを整理すると
 1 + (-1) + (-1) × (-1)
 = 0 + (-1) × (-1) = 1
 ∴  (-1) × (-1) = 1

このことから、負の数に負の数を掛けると正の数になることがわかります。


2数の積

掛け算は、数を〈乗〉ずる計算方〈法〉の意味から 乗法(じょうほう)といい、 その答えを(せき)といいます。
一方、割り算は数を〈除〉する計算方〈法〉であるから、 除法(じょほう)といい、 その答えを(しょう)といいます。

・足し算
数を加える計算方法 = 加 法
・引き算
数を減じる計算方法 = 減 法
・掛け算
数を乗じる計算方法 = 乗 法
・割り算
数を除する計算方法 = 除 法

・乗法の計算のルール

加法・減法と同じく、計算のルールを使って数直線にたよらず、速くて正確な計算ができるように工夫します。数直線上で 見てきたように、2数の乗法の計算では、

のような結果になることから、乗法の計算では、

・符号が同じ2数の積は正の数になる
・符号が異なる2数の積は負の数になる

という関係が成り立ちます。このルールにしたがい、正の数・負の数の乗法は次の順序で計算をします。
① 積の符号を決める
② 符号を取り除いた絶対値だけを計算する 
③ 出した答え(=積)に①の符号をつける
 (+の符号は省略可)


2数の商

除法(割り算)は乗法(掛け算)の逆の計算になります。たとえば、2 × (   ) = 8 の式の (   ) 内の数を求める場合、(   )= 8 ÷ 2 = 4 に代えて求められます。このとき、乗法のルール(正の数)×(正の数)=(正の数)から、(   )内も正の数になります。 よって、(正の数)÷(正の数)=(正の数)となります。
(-2) × (   )= -8 はどうでしょう。
2数の積が負の数の場合の式は
 (正の数)×(負の数)=(負の数)
 (負の数)×(正の数)=(負の数)

の2つになります。
ここでは、(負の数)×(正の数)=(負の数)の形になるので、(   )内は正の数になります。

→ (   )=(-8) ÷ (-2)

から、負の符号〈-〉を考えずにわり算をすれば
 8 ÷ 2 = 4
 ∴(負の数)÷(負の数)=(正の数)

2 × (   ) = -8
(   )内は負の数になり、(正の数)×(負の数)=(負の数)の式。
(   ) = (-8) ÷ 2 で負の符号〈-〉を考えずに割り算すると、
 8 ÷ 2 = 4
なので、答えは -4 になり、
 ∴(負の数)÷(正の数)=(負の数)

(-2) × (   ) = 8
(負の数)×(負の数)=(正の数)だから、(   )内は負の数になります。
(   )= 8 ÷ (-2) で、負の符号〈-〉を考えずに計算すれば、 8 ÷ 2 = 4となり、 -4 が答えとなります。
 ∴(正の数)÷(負の数)=(負の数)
これらのことから、除法についても乗法と同じく、

・符号が同じ2数の商は正の数になる
・符号が異なる2数の商は負の数になる

逆 数(ぎゃくすう)

2つの数の積が 1 になるとき、一方に対するもう一方の数を逆数といいます。

たとえば、a1/a の 2 数があり、その積が

a × 1/a = a/a = 1

となるとき

a の逆数は 1/a である

のようにいいます。分子と分母を〈逆〉にした〈数〉だから「逆数」と覚えましょう。 1 を 2 で割るのと、 1 を半分(1/2)にすることは同じで、

1÷2=1/2  1×1/2=1/2

これは、

「ある数で割ること」=「ある数の逆数を掛けること」

を表わしています。この性質を利用して、除法を乗法に直して計算できます。次の計算例を見てみましょう。

上の計算では、9 の逆数1/9, -5/7 の逆数-7/5 をそれぞれ掛けることで計算が楽になります。


小数や分数を含む乗法・除法

小数や分数を含む乗法や除法も、整数の場合と同じく、
 ① 答えの符号を決める 
 ② 符号を取り除いた絶対値だけを計算する 
 ③ 出した積や商に①の符号をつける
 
 (+の符号は省略可)
の順で行えばよいことになります。

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