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四則計算

加法(足し算)、減法(引き算)、乗法(掛け算)、除法(割り算)をまとめて 四 則(しそく)といいます。 四則計算では、計算の順序が重要になります。

四則の混じった計算

・\(\boldsymbol{\color{darkblue}{(-36) \div (-4)-(-6) \times (-3)}}\)

四則の混じった数の計算では、
乗法、除法を先に計算する

より、次のように計算をします。 \begin{eqnarray} & &(-36) \div (-4)-(-6) \times (-3)\\[5px] & &\;=\color{red}{\frac{-36}{-4}}-\{\color{red}{+(6 \times 3)}\}\\[5px] & &\;=9-18\\[5px] & &\;=\boldsymbol{-9}\;\small{\text{… 答え}} \end{eqnarray}

・\(\boldsymbol{\color{darkblue}{48 \div \{2-2 \times (2-7)\}}}\)

カッコを含む四則計算では、
カッコ内を先に計算する

より、 \begin{eqnarray} & &48 \div \{2-2 \times (2-7)\}\\[5px] & &\;=48 \div \{2-2 \times (\color{red}{-5})\}\\[5px] & &\;=48 \div \{\color{red}{2-(-10)}\}\\[5px] & &\;=48 \div (2+10)\\[5px] & &\;=48 \div 12\\[5px] & &=\boldsymbol{4} \end{eqnarray}

・\(\boldsymbol{\color{darkblue}{(-7) \times \{(-4)^2-13\}+(6^2) \div (-3)}}\)

累乗を含む四則計算では、
累乗を先に計算してから、乗除 \(→\) 加減

より、 \begin{eqnarray} & &(-7) \times \{\color{red}{(-4)^2}-13\}+(\color{red}{6^2}) \div (-3)\\[5px] & &\;=(-7) \times \{\color{red}{16-13}\}+36 \div (-3)\\[5px] & &\;=(-7) \times 3+36 \div (-3)\\[5px] & &\;=(-21)+(-12)\\[5px] & &\;=\boldsymbol{-33} \end{eqnarray}

・\(\boldsymbol{\color{darkblue}{(-2) \times (-6)^2-(7-11)^2 \div 10 \times (-5^2)}}\)

\begin{eqnarray} & &(-2) \times (-6)^2-(\color{red}{7-11})^2 \div 10 \times (-5^2)\\[5px] & &\;=(-2) \times 36-\color{red}{(-4)^2} \div 10 \times (-25)\\[5px] & &\;=(-2) \times 36-16 \div 10 \times (-25)\\[5px] & &\;=(-72)-16 \times \frac{1}{10} \times (-25)\\[5px] & &\;=(-72)-\color{blue}{\frac{16 \times (-25)}{10}}\\[5px] & &\;=(-72)-\frac{16 \times (-5)}{2}\\[5px] & &\;=(-72)-\{8 \times (-5)\}\\[5px] & &\;=-72+40\\[5px] & &\;=\boldsymbol{-32} \end{eqnarray} 累乗のついたカッコを含む式の場合、カッコ内を先に計算し、次に累乗を計算します。

分配法則

\(a,\;b\) の \(2\) 数があり、この2数に同じ数 c を掛けたものを加えたもの \[\boldsymbol{\color{darkblue}{a \times c+b \times c}}\] は、

「はじめに \(\boldsymbol{2}\) 数 \(\boldsymbol{a,\;b}\) を加えてから\(\boldsymbol{c}\) を掛け合わせる」
\[\boldsymbol{\color{darkblue}{(a+b) \times c}}\]

と同じことを表わしています。
このように、カッコ内の項に掛け合わせる数を〈分配〉する形に変形できる計算法則を 分配法則(ぶんぱいほうそく)といいます。 分配法則が成り立つ式では、同時に乗法の交換法則も成り立つので、乗法の順序を代えることができます。 \begin{eqnarray} & &2 \times (3+4)=\color{blue}{2 \times 3+2 \times 4}\\[5px] & &=14\\[5px] & &(3+4) \times 2=\color{blue}{3 \times 2+4 \times 2}\\[5px] & &=14 \end{eqnarray}

例 題

\((1)\quad \left(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4} \right) \times 8\) \((2)\quad 45 \times 375+45 \times 625\)

\((1)\) 計算のルールにしたがってカッコ内を先に計算しますが、分配法則を使うと、 計算がより楽になることがあります。 \begin{eqnarray} & &\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right) \times 8\\[5px] & &\hspace{10px}=\color{blue}{\frac{1}{2} \times 8+\frac{1}{4} \times 8}\\[5px] & &\hspace{10px}=4+2\\[5px] & &\hspace{10px}=\boldsymbol{6} \end{eqnarray}

\((2)\) 乗法から先に計算するのはやっかいなので、このようなときは分配法則を使います。 \begin{eqnarray} & &45 \times 375+45 \times 625\\[5px] & &\;=\color{blue}{45 \times (375+625)}\\[5px] & &\;=45 \times 1000\\[5px] & &\;=\boldsymbol{45000} \end{eqnarray} このように工夫することで、計算がずっと楽にできます。

発展問題

次の式の計算をしなさい。

\(\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1-\cfrac{4}{5}}}}\)

分数の分子と分母がさらに分数を含むようなものを 繁分数(はんぶんすう)といい、 分母が整数と分数の和であり、さらにその分母が整数と分数と和 という形のものを連分数 (れんぶんすう)といいます。このような場合、 分数の分子と分母に \(0\) でない同じ数をかけても、分数の値は変わらない という性質を利用します。まず、
\(\cfrac{3}{1-\cfrac{4}{5}}\) の分子と分母に \(5\) を掛けます \begin{eqnarray} & &\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3 \color{blue}{\times 5}}{\left(1-\cfrac{4}{5} \right) \color{blue}{\times 5}}}}\\[7px] & &\;=\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{15}{1}}}\\[7px] & &\;=\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{16}}\\[7px] & &\;=\cfrac{1 \color{blue}{\times 16}}{\left(1+\cfrac{2}{16} \right) \color{blue}{\times 16}}\\[7px] & &\;=\frac{16}{16+2}\\[7px] & &\;=\frac{16}{18}\\[7px] & &\;=\boldsymbol{\frac{8}{9}}\;\small{\text{ … 答え}} \end{eqnarray}

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