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正の数・負の数の利用

これまで学んだ正の数・負の数の計算を利用して、身の回りの出来事を解決してみてください。たとえば、自然数、整数、分数があって、それぞれに四則計算を行った場合の答えがその数になるかどうかを表にまとめてみよう。

自然数と整数の集合

ものの集まりを集合(しゅうごう:set セット)といいます。 たとえば、 1 ~ 9 までの自然数全部のことを「1ケタの自然数の集合」といいます。 集合を表すには、ふつう、{   }を用いて

「1ケタの自然数の集合」
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

のように個々の集合を構成する数やものをカンマ〈,〉で区切って表現します。

* ことばの意味
 自然数(しぜんすう)
 ―― 物の個数や順序を表す数をいい、1から始まって
   1ずつ増える数(=正の整数

一方、整数とは自然数とゼロ(0)、それに負の数を加えたものであり、分数と小数を除く数をいいます。 このように、数の範囲を、自然数の集合から整数の集合へ、さらに分数の集合へと広げていくことで、それまでできなかった計算ができるようになります。

「4以下の自然数の集合」 と、 「12の約数の集合」  を{   }を用いて表しましょう。
4 以下の自然数は、4 を含めて 1, 2, 3, 4  の 4つなので、

「4以下の自然数の集合」
{1, 2, 3, 4}

一方、12 の約数は、12 を含めて、 1, 2, 3, 4, 6, 12  の 6つあるので

「12の約数の集合」
{1, 2, 3, 4, 6, 12}

集合を構成する「もの」の1つ1つを集合の要素(ようそ)といいます。


正の数・負の数の利用

自然数、整数、分数それぞれに四則計算を行った場合の答えがどのような数になるかを表にまとめてみましょう。

① 自然数の四則計算
 ―― 「3」と「4」、「4」と「1」の2組の自然数について考える

加 法
 3 + 4 = 7  (自然数)
 4 + 1 = 5  (自然数)
減 法
 3 - 4 = -1 (整 数)
 4 - 1 = 3  (自然数)
乗 法
 3 × 4 = 12  (自然数)
 4 × 1 =  4  (自然数)
除 法
 3 ÷ 4 = 3/4  (分 数) または、0.75 (小 数)
 4 ÷ 1 = 4  (自然数)

自然数の加法・乗法では常に自然数になりますが、減法・除法では自然数にならない場合があります。

自然数の集合では、加法・乗法の計算が常に自然数になる

② 整数の四則計算
 ―― 「2」と「-3」、「4」と「-1」の2組の整数の場合を考える

加 法
 2 - (-3) = -1 (整 数)
 4 + (-1) = 3 (整 数)

減 法
 2 - (-3) = 5 (整 数)
 4 - (-1) = 5 (整 数)

乗 法
 2 × 3 = 6 (整 数)
 4 × (-1) = -4 (整 数)

除 法
 2 ÷ (-3) = 2/3 (分 数)
 4 ÷ 1 = 4 (整 数)

整数の四則計算では、除法をのぞく3つの計算法ではすべて整数になりますが、除法では整数にならない場合があります。

整数の集合では、加法・減法・乗法の計算が整数になる

③ 分数の四則計算
 ―― 3/4 と 2/3,  1/2 と 1/5 の2組の分数について考える

分数どうしの計算では、値が整数の場合もあるが、整数も分母を 1 とする分数と考えられるので、すべての計算法で答えが分数になります。

分数の集合では、すべての四則計算が分数になる

 
除法(割り算)では、「0」で割ることはできない
0 ÷ a 〇 / a ÷ 0 ×


加 法 減 法 乗 法 除 法
自然数
整 数
分 数

〇 … その範囲で常に可能  △ … その範囲で常に可能だとは限らない


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