変化の割合
\(y\) が \(x\) の関数であるとき、\(x\) の値がもとの値から変化することを \(x\) の増加量といい、\(y\) の値がもとの値から変化することを \(y\) の増加量といいます。また、\(x\) の増加量に対する
\(y\) の増加量の割合を「変化の割合」といいます。\(y\) が \(x\) の関数であるとき、\(y\) の値の変化後の値と変化前の値の差を \(x\) の増加量といい、
\(y\) の値の変化後の値と変化前の値の差を \(y\) の増加量といいます。さらに、\(x\) の増加量に対する \(y\) の増加量の割合を関数における「変化の割合」といいます。
| 増加量 \(=\;(\)変化後の値\()-(\)変化前の値\()\) |
「割合」は、「もとの数の何倍か」を表すことから、変化の割合も
| \(\boldsymbol{y}\) の増加量は \(\boldsymbol{x}\) の増加量の何倍か |
を表しており、
\[\mathbf{変化の割合}\;=\;\cfrac{\boldsymbol{y}\;\mathbf{の増加量}}{\boldsymbol{x}\;\mathbf{の増加量}}\]
の式で求めることができます。次の \(1\) 次関数において、\(x\) の値が \(1\) から \(4\) まで増加するときの変化の割合を求めてみましょう。
| ア \(y=2x-4\) |
イ \(y=-2x+3\) |
ア \(y=2x-4\) において、\(x=1\) のとき \(y\) の値は
\begin{eqnarray}
y &=& 2 \times 1-4\\
&=& 2-4\\
&=& -2
\end{eqnarray}
\(x=4\) のとき \(y\) の値は
\begin{eqnarray}
y &=& 2 \times 4-4\\
&=& 8-4\\
&=& 4
\end{eqnarray}
\(x\) において、変化前の値は「\(1\)」、変化後の値は「\(4\)」
よって、
\begin{eqnarray}
& &x\;\small{の増加量}\\
& & =4-1\\
& &=3
\end{eqnarray}
一方、\(y\) において、変化前の値が「\(-2\)」、変化後の値が「\(4\)」
よって、
\begin{eqnarray}
& & y\; \small{の増加量}\\
& &=4-(-2)\\
& &=4+2\\
& &=6
\end{eqnarray}
この関係を上の式に当てはめると、
\begin{eqnarray}
\small{変化の割合} &=&\normalsize{\frac{(4)-(-2)}{(4)-(1)}}\\[7px]
&=&\frac{6}{3}\\[7px]
&=&\boldsymbol{2}
\end{eqnarray}
イ \(y=-2x+3\) において、\(x=1\) のとき \(y\) の値は
\begin{eqnarray}
y &=& -2 \times 1+3\\
&=& -2+3\\
&=& 1\\[12px]
x &=& 4\; \small{のとき}\\
y &=& -2 \times 4+3\\
&=& -8+3\\
&=& -5
\end{eqnarray}
この関係を式に当てはめて、
\begin{eqnarray}
\small{変化の割合} &=&\normalsize{\frac{(-5)-(1)}{(4)-(1)}}\\[7px]
&=&\frac{-6}{3}\\[7px]
&=&\boldsymbol{-2}
\end{eqnarray}
この結果から、
| \(y=2x-4\) の変化の割合 |
\(→\;\boldsymbol{\color{blue}{2}}\) |
| \(y=-2x+3\) の変化の割合 |
\(→\;\boldsymbol{\color{blue}{-2}}\) |
のように、関数における「\(\boldsymbol{x}\) の係数」と「変化の割合」が一致します。
上の例において、\(1\) 次関数 \(y=2x-4\) の変化の割合は「\(\boldsymbol{2}\)」だから、
\(x=3\) のとき \(2 \times 3=6\) より、\(y\) の増加量は「\(\boldsymbol{6}\)」になります。
このように、\(1\) 次関数 \(y=ax+b\) では、\(x\) の増加量にかかわらず、常に
\begin{eqnarray}
\mathbf{変化の割合}\;&=&\;\cfrac{\boldsymbol{y}\;\mathbf{の増加量}}{\boldsymbol{x}\;\mathbf{の増加量}}\\[7px]
&=&\color{red}{\boldsymbol{a}}
\end{eqnarray}
と「一定」になります。
\(\boldsymbol{2}\) 点から変化の割合を求める
\(1\) 次関数 \(y=ax+b\) が、点 \((3,\hspace{10px}5)\) から点 \((5,\hspace{10px}11)\) まで変化したときの変化の割合を求めてみましょう。
この場合、変化前の座標が \(\boldsymbol{(3,\hspace{10px}5)}\) で、変化後の座標が \(\boldsymbol{(5,\hspace{10px}11)}\)
ですから、\(x,\;y\) それぞれの増加量は
\begin{eqnarray}
x\;\small{の増加量}\;&=&\normalsize{5-3}\\
&=&\boldsymbol{2}\\[10px]
y\;\small{の増加量}\;&=&\normalsize{11-5}\\
&=&\boldsymbol{6}
\end{eqnarray}
となり、変化の割合は \(6 \div2=3\) になります。これを式で表すと
\begin{eqnarray}
\mathbf{変化の割合}\;&=&\;\cfrac{11-5}{5-3}\\[7px]
&=&\frac{6}{2}\\[7px]
&=&\boldsymbol{3}
\end{eqnarray}
次に、\(1\) 次関数 \(y=ax+b\) が点 \((2,\hspace{10px}-2)\) から点 \((5,\hspace{10px}-11)\) まで変化したときの変化の割合を求めます。
変化前の座標が \(\boldsymbol{(2,\hspace{10px}-2)}\) で、変化後の座標が \(\boldsymbol{(5,\hspace{10px}-11)}\) なので、\(x,y\) それぞれの増加量は
\begin{eqnarray}
x\;\small{の増加量}\;&=&\normalsize{5-2}\\
&=&\boldsymbol{3}\\[10px]
y\;\small{の増加量}\;&=&\normalsize{-11-(-2)}\\
&=&-11+2\\
&=&\boldsymbol{-9}
\end{eqnarray}
よって、変化の割合は \(-9 \div 3=-3\) となり、これを式で表すと
\begin{eqnarray}
\mathbf{変化の割合}\;&=&\;\cfrac{(-11)-(-3)}{5-3}\\[7px]
&=&\frac{-11+2}{3}\\[7px]
&=&\frac{-9}{3}\\[7px]
&=&\boldsymbol{-3}
\end{eqnarray}
