直線の式 交点 平行
ふつう、直線の式は、\(a,\;b,\;c\) を定数として、\(2\) 元 \(1\) 次方程式 \(ax+by+c=0\) の形で表すことができます。\(\boldsymbol{2}\) 元 \(\boldsymbol{1}\) 次方程式
\(x,\;y\) のように文字を \(2\) つ用いる方程式のうち、\(1\) 次式で表すものを \(2\) 元 \(1\) 次方程式といいました。 たとえば、\(2\) 元 \(1\) 次方程式 \(\boldsymbol{x+y=6}\) を満たす \(x,\;y\) の組は| \(\boldsymbol{x}\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\boldsymbol{y}\) | \(11\) | \(10\) | \(9\) | \(8\) | \(7\) | \(6\) | \(5\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
| \(\boldsymbol{a=0}\) のとき |
| \(0 \times x+by+c=0\) |
| \(by=-c\) |
| \(\boldsymbol{y=-\cfrac{c}{b}}\) |
| \(\boldsymbol{b=0}\) のとき |
| \(ax+0 \times y+c=0\) |
| \(ax=-c\) |
| \(\boldsymbol{x=-\cfrac{c}{a}}\) |
平 行
次の式を、グラフに表してみます。| \(\small{①} \quad \normalsize{y=3} \hspace{20px} \small{②} \quad \normalsize{x=5} \hspace{20px} \small{③} \quad \normalsize{y=2x-3}\) |
| \(\small{④} \quad \normalsize{y=-2x+3} \hspace{20px} \small{⑤} \quad \normalsize{y=2x+2}\) |
 |
\(\small{①} \quad y=□\) の形は \(\boldsymbol{x}\) 軸に平行な直線になり、 \(\small{②} \quad x=□\) の形は \(\boldsymbol{y}\) 軸に平行な直線になります。 また、\(\small{③}\) と \(\small{⑤}\) のように 傾きが同じ直線は平行になります。
* \(x=0\) は \(y\) 軸を表し、 \(y=0\) は \(x\) 軸を表します
直線の交点を求める
\(2\) 直線の交点は、\(2\) つの \(2\) 元 \(1\) 次方程式の交点であるから、連立方程式の解に等しくなります。 \(1\) 次関数 \(y=-\cfrac{2}{3}x-\cfrac{5}{3}\) と \(y=\cfrac{5}{2}x-8\) の交点を求めましょう。これらを \(2\) 元 \(1\) 次方程式に直すと、 \begin{eqnarray} & &\cfrac{2}{3}x+y=-\cfrac{5}{3}\\[7px] & &\hspace{10px}→\;\boldsymbol{2x+3y=-5}\; ――\;\small{①}\\[12px] & &-\cfrac{5}{2}x+y=-8\\[7px] & &\hspace{10px}→\;\boldsymbol{5x-2y=16}\;――\;\small{②} \end{eqnarray} \(\small{①②}\) の方程式を加減法で解きます。\(y\) の係数を合わせるため、\(\small{①}\) の式の両辺に \(2\) を、\(\small{②}\) の式の両辺に \(3\) をそれぞれ掛け、\(\small{①\;+\;②}\)から \(y\) を消去します。 \begin{array}{cccccc} & 4x & & + & 6y & & & = & &-10\\ +) & 15x & & - & 6y & & & = & &48\\ \hline & 19x & & & & & & = & &38\\ \end{array} \[\boldsymbol{x=2}\] これを \(\small{①}\) の式に代入して、 \begin{eqnarray} & &2 \times 2+3y=-5\\ & &4+3y=-5\\ & &3y=-5-4\\ & &=-9\\[12px] & &\boldsymbol{y=-3} \end{eqnarray} ∴ 連立方程式の解は \(\color{blue}{\boldsymbol{(x,\hspace{10px}y)\;=\;(2,\hspace{10px}-3)}}\) になります。 次に、もとの \(2\) つの \(1\) 次関数をグラフに表してみると、 |