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平行線と角

図形の定義と定理についてしっかり理解することが大切で、証明問題の基本になります。三角形を描こうと思えば無数の形を描くことができますが、それらを1つのことばで明確に規定して「三角形とは3本の直線でかこまれた図形である」と表現されたものが三角形の定義になります。一方、定理はその図形が持つ様々な性質を表したもので、定義とは異なり明確に規定されていません。そのため、なぜそういう性質があるかを説明する必要があります。

 
平行と合同 主な学習のポイント
・直線や多角形がつくる角について理解する
・三角形の合同条件をマスターする
・「証 明」についての理解を深める
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

直線がつくる角

次の図をみてください。

図 1

図のように、2本の直線が交わると、4つの角ができます。このとき、

∠a と ∠c,  ∠b と ∠d

のように、お互いに向かい合っている角を 対頂角(たいちょうかく)といいます。

図 2

次に、直線 m, n に対してこれら2本と交わる直線がある場合、図のような角ができます。このとき、

∠c と ∠e, ∠d と ∠f

のように、2本の直線にはさまれて斜め向かいに位置する角を錯角(さっかく) といい、

∠a と ∠e,  ∠d と ∠h
∠b と ∠f,  ∠c と ∠g

のように同じ位置にある角を同位角(どういかく)といいます。 このように、平面上にある2直線に別の1本の直線が交わってできる角のうち

錯角は2組  同位角は4組

存在します。


・定義(ていぎ) と 定理(ていり)

数学では、定義や定理ということばをよく聞きます。2つの違いはふつう、

たとえば、
 「3つの直線でかこまれた図形を三角形という」
これは三角形の定義ですが、三角形という図形の意味を表す文になります。 したがって、3つの直線でかこまれた図形を四角形とはいいません。
一方、定理は図形そのものの意味ではなく、その図形にそなわっている「性質や特徴」 を表します。ただし、性質や特徴はあらかじめ説明されないと分らないので、理由を考えて説明証明)する必要があります。

定義 = 決まりごと (約束ごとだから絶対)
定理 = 性質 (正しいことを説明)

◆ 平行線の定義

 ―― 決まりごとになります。

平行線の同位角、錯角は等しい
同位角、錯角が等しい2直線は平行である



◆ 定 理: 対頂角は等しい

 ―― 説明や証明が必要になります。上の図を見てください。

説 明
 図1において、直線のつくる角度は180°であるから

∠a + ∠b = 180°
∠b + ∠c = 180°
∠a = 180 - ∠b
∠c = 180 - ∠b
これにより、
∠a = ∠c  ―― ①

同じく、

∠b + ∠c = 180°
∠c + ∠d = 180°
∠b = 180 - ∠c
∠d = 180 - ∠c
これにより、
∠b = ∠d ―― ②

①②より対頂角は等しい ・・・ 説明終わり

この性質は正しいことが証明されたので、「決まりごと」として利用できます。



演 習

         
・ m // n のとき、x の値を求めなさい 。



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