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平行線と角

平行線の定義は、図形の証明問題の基本になります。

平行と合同 主な学習のポイント
・直線や多角形がつくる角について理解する
・三角形の合同条件をマスターする
・「証 明」についての理解を深める
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

直線がつくる角

次の図を見てください。

図 \(\boldsymbol{1}\)

図のように、\(2\)本の直線が交わると、\(4\)つの角ができます。このとき、

\(\boldsymbol{∠a}\) と \(\boldsymbol{∠c}\), \(\boldsymbol{∠b}\) と \(\boldsymbol{∠d}\)

のように、お互いに向かい合っている角を 対頂角(たいちょうかく)といいます。

図 \(\boldsymbol{2}\)

次に、直線 \(\boldsymbol{m,\;n}\) に対してこれら \(2\) 本と交わる直線がある場合、図のような角ができます。このとき、

\(\boldsymbol{∠c}\) と \(\boldsymbol{∠e}\) \(\boldsymbol{,\;∠d}\) と \(\boldsymbol{∠f}\)

のように、\(2\) 本の直線にはさまれて斜め向かいに位置する角を錯角(さっかく) といい、
\(\boldsymbol{∠a}\) と \(\boldsymbol{∠e}\) \(\boldsymbol{,\; ∠d}\) と \(\boldsymbol{∠h}\)
\(\boldsymbol{∠b}\) と \(\boldsymbol{∠f}\) \(\boldsymbol{,\; ∠c}\) と \(\boldsymbol{∠g}\)

のように同じ位置にある角を同位角(どういかく)といいます。 また、平面上にある2直線に別の \(1\) 本の直線が交わってできる角のうち

錯角は \(\boldsymbol{\large{2}}\) 組 同位角は \(\boldsymbol{\large{4}}\) 組

存在します。

ことばの意味

定 義(ていぎ) :用語の意味をはっきり規定する文章や式
定 理(ていり) :正しいと説明、または証明されたことがら

たとえば、

「\(3\) つの直線でかこまれた図形を三角形という」

は、三角形の定義で、三角形という図形の意味を表しており、\(3\) つの直線でかこまれた図形を四角形とはいいません。
一方、定理は図形そのものの意味ではなく、その図形にそなわっている「性質や特徴」 を表します。ただし、性質や特徴はあらかじめ説明されていないと分らないので、理由を考えて説明(証明)する必要があります。

平行線の定義

平行線について決まりごとは、次の \(2\) つです。

平行線の同位角、錯角は等しい
同位角、錯角が等しい \(\boldsymbol{2}\) 直線は平行である


対頂角は等しい

 ―― 説明や証明が必要になります。上の図 \(1\) を見てください。

説 明
図 \(\boldsymbol{1}\) において、直線のつくる角度は \(\boldsymbol{180^{\circ}}\) なので、

\begin{eqnarray} & &∠a+∠b=180^{\circ}\\ & &∠b+∠c=180^{\circ}\\ & &∠a=180-∠b\\ & &∠c=180-∠b\\[12px] & &\small{これにより、}\\ & &\boldsymbol{∠a=∠c}\;\small{ ――\;①}\\[12px] & &\small{同じく、}\\ & &∠b+∠c=180^{\circ}\\ & &∠c+∠d=180^{\circ}\\ & &\color{blue}{∠b=180-∠c}\\ & &\color{blue}{∠d=180-∠c}\\[12px] & &\small{これにより、}\\ & &\boldsymbol{∠b=∠d}\;\small{――\;②} \end{eqnarray}

\(\small{①②}\) より対頂角は等しい … 説明終わり

この性質は正しいことが証明されたので、「決まりごと」として利用できます。

演 習

\(m\; /\!/\; n\) のとき、\(x\) の値を求めなさい 。

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