多角形の内角と外角
多角形（たかくけい）は、 \(3\) 本以上の線分で囲まれた平面図形をいいます。 多角形の \(2\) 辺によってつくられ、図形の内側にできる角を 内角（ないかく）、 多角形の \(1\) 辺とそのとなりの辺の延長とがつくる角を外角 （がいかく）といいます。多角形と角
多角形の内角と外角との間には次のような関係があります。| \(\boldsymbol{1}\) つの内角とそれととなり合う外角の和は \(\color{blue}{\boldsymbol{180^{\circ}}}\) |
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三角形の内角の和は \(\boldsymbol{180^{\circ}}\) である
―― この内容は、説明が必要です。ここでは 「平行線の定義」を利用したいので、はじめに \(△ABC\) の頂点 \(\boldsymbol{A}\) を通り、辺 \(\boldsymbol{BC}\) と平行な直線 \(\boldsymbol{EF}\) を引きましょう。
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三角形の内角の和は \(\boldsymbol{180^{\circ}}\) である … 説明終わり
\(\boldsymbol{n}\) 角形の内角の和は \(\boldsymbol{180 \times (n-2)^{\circ}}\) である
―― これは、説明が必要です。ここでは、「三角形の内角の和」 を利用します。 |
| \(3\) 角形 … 三角形が \(1\) つ | ∴ \(180 \times 1=\boldsymbol{180^{\circ}}\) |
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| \(4\) 角形 … 三角形が \(2\) つ | ∴ \(180 \times 2=\boldsymbol{360^{\circ}}\) |
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| \(5\) 角形 … 三角形が \(3\) つ | ∴ \(180 \times 3=\boldsymbol{540^{\circ}}\) |
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| \(6\) 角形 … 三角形が \(4\) つ | ∴ \(180 \times 4=\boldsymbol{720^{\circ}}\) |
| 三角形の個数 \(=(\)多角形の頂点の数\(\boldsymbol{-2})\) 個 |
| \(\boldsymbol{n}\) 角形の内角の和 \(\boldsymbol{=180 \times (n-2)^{\circ}}\) |
\(\boldsymbol{n}\) 角形の対角線の本数
多角形の \(1\) つの頂点から引くことのできる対角線の数を見ると、| 三角形 … \(\boldsymbol{\color{blue}{0}}\) 本 |
| 四角形 … \(\boldsymbol{\color{blue}{1}}\) 本 |
| 五角形 … \(\boldsymbol{\color{blue}{2}}\) 本 |
| 六角形 … \(\boldsymbol{\color{blue}{3}}\) 本 |
\(n\) 角形の対角線は \(1\) つの頂点から \(\boldsymbol{(n-3)}\) 本引くことができます ―― ① 次に、\(n\) 角形の \(\boldsymbol{n}\) 個の頂点から何本の対角線が引けるかを見ていきます。
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| \(AC,\;AD,\;BD,\;BE,\) | \(\color{red}{CA},\;CE,\;\color{red}{DB,\;DA,}\) | \(\color{red}{EC,\;EB}\) |
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| \(AC,\;AD,\;AF,\;BD,\) | \(BE,\;BF,\;\color{red}{CA},\;CF,\) |
| \(CE,\;\color{red}{DB},\;\color{red}{DA},\;DF,\) | \(\color{red}{EC,\;EB,\;EA,\;FB,}\) |
| \(\color{red}{FC,\;FD}\) | |
\(n\) 角形の \(n\) 個の頂点から対角線を引くと、\(\boldsymbol{n}\) 本中半分がダブるので、\(n\) 角形の対角線の本数を表す公式は、
| \(\boldsymbol{n} \small{\mathbf{角形の対角線の本数}}\; \normalsize{\boldsymbol{= \cfrac{n(n-3)}{2}}}\;\small{\mathbf{本}}\) |
| 四角形 \(ABCD\) の各頂点からの本数 | \(= \boldsymbol{(4-3)=1}\) 本 |
∴ 四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の対角線の本数
| \(\boldsymbol{\cfrac{4(4-3)}{2}}=\boldsymbol{\cfrac{4}{2}}\) |
| \(=\boldsymbol{\color{blue}{\large{2}}}\) 本 |
| 五角形 \(ABCDE\) の各頂点からの本数 | \(= \boldsymbol{(5-3)=2}\) 本 |
∴ 五角形 \(\boldsymbol{ABCDE}\) の対角線の本数
| \(\boldsymbol{\cfrac{5(5-3)}{2}}=\boldsymbol{\cfrac{10}{2}}\) |
| \(=\boldsymbol{\color{blue}{\large{5}}}\) 本 |
| 六角形 \(\boldsymbol{ABCDEF}\) の各頂点からの本数 | \(= \boldsymbol{(6-3)=3}\) 本 |
∴ 六角形 \(\boldsymbol{ABCDEF}\) の対角線の本数
| \(\boldsymbol{\cfrac{6(6-3)}{2}}=\boldsymbol{\cfrac{18}{2}}\) |
| \(=\boldsymbol{\color{blue}{\large{9}}}\) 本 |
\(\boldsymbol{n}\) 角形の外角の和は \(\boldsymbol{360^{\circ}}\) である
―― この内容は、説明が必要です。 |
| 三角形のすべての [内角 \(+\) 外角] の和 | \(=180 \times 3=540^{\circ}\) |
| 三角形の内角の和 | \(=180 \times (3-2)=180^{\circ}\) |
| 三角形の外角の和 | \(\boldsymbol{=540-180=360^{\circ}}\) |
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| 四角形のすべての [内角 \(+\) 外角] の和 | \(=180 \times 4=720^{\circ}\) |
| 四角形の内角の和 | \(=180 \times (4-2)=360^{\circ}\) |
| 四角形の外角の和 | \(\boldsymbol{=720-360=360^{\circ}}\) |
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| 五角形のすべての [内角 \(+\) 外角] の和 | \(=180 \times 5=900^{\circ}\) |
| 五角形の内角の和 | \(=180 \times (5-2)=540^{\circ}\) |
| 五角形の外角の和 | \(\boldsymbol{=900-540=360^{\circ}}\) |
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| 六角形のすべての [内角 \(+\) 外角] の和 | \(=180 \times 6=1080^{\circ}\) |
| 六角形の内角の和 | \(=180 \times (6-2)=720^{\circ}\) |
| 六角形の外角の和 | \(\boldsymbol{=1080-720=360^{\circ}}\) |
上の多角形における内角と外角の関係から分るように、 \(n\) 角形のすべての \((\small{内角}\;+\;\small{外角})\) の和 \[=180 \times n=\boldsymbol{180n^{\circ}}\] から \(n\) 角形の内角の和を引くと、 \begin{eqnarray} & &\color{blue}{180n-180 \times (n-2)}\\[7px] & &\hspace{12px}=180n-180n+360\\[7px] & &\hspace{12px}=\boldsymbol{360^{\circ}} \end{eqnarray} となる … 説明終わり
三角形の内角と外角の関係
三角形の内角と外角における重要な定理を学習ます。三角形の外角はそれととなり合わない \(\boldsymbol{2}\) 角の和に等しい
―― この内容は、説明が必要です。ここでは、「平行線の定義」を利用します。
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