次 へ >>

場合の数

身の回りのことがらには、それらのやり方が全部で何通りあるかを数えられるものがあります。そして、この「何通り」にあたることをそのことがらが起こりうる場合の数といいます。場合の数を求めるときには、すべての場合をもれなく数えるとても有効な方法として樹形図(じゅけいず)をよく用います。

 
確  率 主な学習のポイント
・確率の意味や考え方について理解する
・同様に確からしいとは
・確率の求め方を学習する 
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

場合の数

何枚かの数字がかかれたカードを1列に並べようとすると、並べ方には何通りか方法があるので、その中のある1つの並べ方を選ぶことがあります。また、 時間をかけて全部の並べ方を試すこともできます。 カードの並べ方のように、ある事柄の起こり方の総数を場合の数といいます。 このとき、あることがらの起こりうる場合の数が全部で n 通りあることを、そのことがらの起こりうる場合の数は n 通りであるといいます。 今、手元に「1, 2, 3, 4」の数のカードが4枚あるとします。これらのカードの並べ方が全部で n 通りであり、はじめに「1」のカードがくる並べ方が a 通りだとするとき、
 4枚のカードの並べ方のすべての場合の数 = n
 1 のカードが最初にくる並べ方の場合の数 = a
のように使い分けます。ある事柄について起こりうる場合の数を正確に求めるには、すべての場合の数をもれなく、重複(ちょうふく) しないように数え上げなければならず、そのため表や図に表わします。その中で、あることがらの場合を枝分かれする樹木上の 系統図(けいとうず)にかいた樹形図がよく使われます。


「A, B 2枚のコインを投げて、表と裏の出方
 が何通りあるか」

を見てみましょう。 この場合、Aのコインの表が出るとき、Bのコインは表か裏のどちらかになります。また、Aのコインの裏 が出るときも、Bのコインは表か裏のどちらかになります。この事柄を樹形図に表すと、次のようになります。
この図のように、表と裏の出方は
 (表,  表)、 (表,  裏)、 (裏,  表)、
 (裏,  裏)

の4つの場合が考えられます。したがって、2枚のコインを同時に投げて表と裏の出る場合の数は4通りです。 例題では、Aのコインについては表と裏の2通りで、Aの出方のそれぞれについてBのコインも表と裏の2通りずつになることから、
 (Aのコインの出方:2通り)
  × (Bのコインの出方:2通り) = 4通り

のような乗法(かけ算)を利用して場合の数を求める方法もあります。複数の事柄が同時起こる場合、それぞれの場合の数を掛け合わせて求められることから「積の法則」といいます。

「赤、青、黄、緑の4色のカードのうち3色のカードを1列に並べる並べ方が何通りあるか」
求めてみましょう。

1番左の色が赤色
 ⇒ 真ん中の色は青、黄、緑の3色のうちのどれか
真ん中の色が青色
 ⇒ 1番右の色は黄、緑の2色のうちのどれか

このことがらを樹形図に表すと、6通りになります。


1番左が青、黄、緑の樹形図の場合も同じく6通りになるので、すべての場合の数=24通り であることがわかります。

樹形図より、

・1番左は赤、青、黄、緑の4通り:a
・a のそれぞれについて真ん中の色は3通り:b
・a, b のそれぞれについて1番右の色は2通り:c

の並べ方があるので、かけ算を利用すれば

a × b × c
 = 4 × 3 × 2
 = 24 通り

の式で求めることができます。場合の数を求めるとき、樹形図を使えばすべての場合をもれなく数えることができますが、 場合の数が多くなると、いちいち樹形図をかくには面倒になるので積の法則をうまく利用します。

各種問題集

英語[基礎固め]問題集

一般公立校、中堅私立校向け基礎固め問題 おすすめ

数学[基礎固め]問題集

一般公立校、中堅私立校向け基礎固め問題 おすすめ

1学期総復習

2学期以降、英語の苦手意識がつかないよう復習

2学期総復習

広範囲で複雑な英語学習に対応した問題

トレーニング問題

入試英語の要点整理と活用法をこの1冊で修得 おすすめ

トレーニング問題

入試数学の要点整理と活用法をこの1冊で修得 おすすめ

特選英語問題

難関校向け英語実力強化問題

ハイレベル模擬テスト

難関校向け英語実力テスト

↑ PAGE TOP