受験生や独学する一般人のための学習サイト

＜　　＞

代入法と加減法

連立方程式には「代入法」と「加減法」の \(2\) つの解き方があります。方程式の \(1\) つがすでに「\(y=□□\)」「\(x=△△\)」の形であれば代入法で解くのに適しています。ここでは、それぞれの解き方の特徴やコツについて学習します。

代　入　法

\(2\) 元 \(1\) 次方程式の解を求めてから共通する \(x,\;y\) の値を見つけ出す方法よりも、もっと短時間で求める方法があります。 連立方程式は、\(x\) と \(y\) \(2\) つの文字があるために \(1\) 次方程式よりも解を求めるのがやっかいです。そこで、 \(2\) つの文字のうち \(1\) つを消去して、\(1\) 次方程式の形にします。 具体的には、\(2\) つのうちの一方の方程式を \(1\) つの文字について 解き、それをもう\(1\) つの方程式に代入します。このような方法を「代入法」といいます。

・ 連立方程式を代入法で解く

\(\boldsymbol{1)}\) \(\boldsymbol{2}\) つの方程式の一方を \(\boldsymbol{1}\) つの文字について解く
\(\boldsymbol{2)}\) \(\boldsymbol{1)}\) をもう \(\boldsymbol{1}\) 方の方程式に代入し、式を解いて文字の値を求める
\(\boldsymbol{3)}\) \(\boldsymbol{2)}\) の値を \(\boldsymbol{1)}\) の式に代入して、もう \(\boldsymbol{1}\) つの文字の値を求める
\(\boldsymbol{4)}\) 求めた解をもとの方程式に代入して、等式が成り立つか確かめる

この手順にしたがって、次の連立方程式を「代入法」で解いてみましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{-x+3y=5}\;――\;\small{ア}\\[10px] \boldsymbol{-3x+2y=7}\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{1)}\) \(\boldsymbol{2}\) つの方程式の一方を \(\boldsymbol{1}\) つの文字について解く
代入法では、\(2\) つの \(2\) 元 \(1\) 次方程式の一方を\(x=△△\),　または　\(y=□□\) の形にすることからはじめます。 ア,イ の式において、\(x,\;y\) に係数があると \(x\) または \(y\) についての式に直すとき、係数で両辺を割るという手間がかかります。 そこで、代入法で解く場合、係数のついていない文字について解くようにします。 ここでは ア の式を \(\boldsymbol{x}\) について解きます [x=5-3y}\;――\;\small{ア'}\]

\(\boldsymbol{2)}\) ア´の式を イ の式に代入する
\[-3\times(5-3y)+2y=7\]

このように、\(y\) についての \(1\) 次方程式になるので \(y\) の値を求めることができます。

\begin{eqnarray} & &(-15)+9y+2y=7\\[7px] & &11y=7+15\\[7px] & &11y=22\\[7px] & &y=\frac{22}{11}\\[7px] & &\boldsymbol{\color{blue}{y=2}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{3)}\) \(\boldsymbol{y=2}\) を \(\boldsymbol{1)}\) の式に代入して \(\boldsymbol{x}\) の値を求める

\begin{eqnarray} & &x=5-3\times2\\ & &=5-6=-1\\[10px] & &∴\quad \boldsymbol{x=-1} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{4)}\) \(\boldsymbol{x=-1,\;y=2}\) をもとの式に代入して等式が成り立つかを確認する

ア, イ の式の左辺と右辺の値が同じになるかをチェックします

ア \(x+3y=5\) の式において \begin{eqnarray} \small{左　辺}&=&-1+3\times2=-1+6\\ &=&\boldsymbol{\color{red}{5}}\\[7px] \small{右　辺}&=&\boldsymbol{\color{red}{5}} \end{eqnarray}

イ \(-3x+2y=7\) の式において \begin{eqnarray} \small{左　辺}&=&-3\times(-1)+2\times2=3+4\\ &=&\boldsymbol{\color{red}{7}}\\[7px] \small{右　辺}&=&\boldsymbol{\color{red}{7}} \end{eqnarray}

となり、連立方程式の解として正しいことが確認できました。
∴　\(\boldsymbol{\color{blue}{x=-1,\quad y=2}}\)

加　減　法

与えられた方程式の両辺にある数を掛け、\(x,\;y\) いずれかの係数を合わせ、\(2\) つの方程式を足したり引いたりすることで \(1\) つの文字を消去する解き方を 加減法といいます。

・連立方程式を加減法で解く

\(\boldsymbol{1)}\) それぞれの式の両辺にある数を掛けて、消去したい文字の係数の絶対値を同じくする
\(\boldsymbol{2)}\) \(\boldsymbol{1)}\) を加減（足し引き）して、文字を消去する
\(\boldsymbol{3)}\) \(\boldsymbol{2)}\) の式より、別の \(\boldsymbol{1}\) つの文字の値を求める
\(\boldsymbol{4)}\) \(\boldsymbol{3)}\) の値を方程式に代入して、もう \(\boldsymbol{1}\) つの文字の値を求める
\(\boldsymbol{5)}\) 求めた解をそれぞれの方程式に代入して、等式が成り立つか確認する

この手順にしたがって、次の連立方程式を「加減法」 で解いてみましょう。 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{3x+2y=-3}\;――\;\small{ア}\\[10px] \boldsymbol{-3x+5y=21}\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{a)\quad x}\) を消去する

\(\boldsymbol{1)}\) 式の両辺にある数を掛けて、消去したい \(\boldsymbol{x}\) の係数の絶対値を同じくする

ア、イの方程式の \(x\) の係数は

式 アの \(\boldsymbol{x}\) の係数：\(\boldsymbol{3}\)
式 イの \(\boldsymbol{x}\) の係数：\(\boldsymbol{-2}\)

から、それぞれの絶対値は \[|\;3\;|=\boldsymbol{3},\hspace{10px}|\;-2\;|=\boldsymbol{2}\] になるので、\(2\) 数の最小公倍数 \(6\) になるように、ア の方程式の両辺に \(\boldsymbol{2}\) を、 イ の方程式の両辺に \(\boldsymbol{3}\) を掛けます。

\begin{eqnarray} & &(3x+2y) \times 2=-3 \times 2\\ & &\boldsymbol{6x+4y=-6}\;――\;\small{ウ}\\[10px] & &(-2x+5y) \times 3=21 \times 3\\ & &\boldsymbol{-6x+15y=63}\;――\;\small{エ} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{2)}\) \(\boldsymbol{2}\) つの方程式を加減して、\(\boldsymbol{x}\) を消去する

\(x\) の係数が \(6\) と \(-6\) ですから、〈ウ〉 \(+\) 〈エ〉より \(x\) を消去します

\begin{array}{cccccc} & 6x & & + & & 4y & & = & & -6 &\\ +) & -6x & & + & & 15y & & = & & 63 &\\ \hline & & & & & \boldsymbol{19y} & & = & & \boldsymbol{57} & \end{array}

\(\boldsymbol{3)}\) \(\boldsymbol{2)}\) の式より、\(\boldsymbol{1}\) つの文字 \(\boldsymbol{y}\) の値を求める

\begin{eqnarray} & &19y=57\\[7px] & &y=57 \div 19\\[7px] & &\boldsymbol{y=3} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{4)}\) \(\boldsymbol{y=3}\) を適当な方程式に代入して、もう \(\boldsymbol{1}\) つの文字 \(\boldsymbol{x}\) の値を求める

\(y=3\) を〈ア〉～〈エ〉のいずれかの式に代入して、\(x\) の値を求めますが、ここでは、練習のつもりですべての式に代入してみます。

・〈ア〉の方程式に \(\boldsymbol{y=3}\) を代入する

\begin{eqnarray} & &3x+2\times\color{red}{3}=-3\\[5px] & &3x+6=-3\\[5px] & &3x=-3-6=9\\[5px] & &\hspace{7px}x=-9 \div 3\\[5px] & &\hspace{7px}x=-3 \end{eqnarray}

・〈イ〉の方程式に \(\boldsymbol{y=3}\) を代入する

\begin{eqnarray} & &-2x+5 \times \color{red}{3}=21\\[5px] & &-2x+15=21\\[5px] & &-2x=21-15=6\\[5px] & &\hspace{7px}x=6 \div -2\\[5px] & &\hspace{7px}\boldsymbol{x=-3} \end{eqnarray}

・〈ウ〉の方程式に \(\boldsymbol{y=3}\) を代入する \begin{eqnarray} & &6x+4 \times \color{red}{3}=-6\\[5px] & &6x+12=-6\\[5px] & &6x=-6-12=-18\\[5px] & &\hspace{7px}x=-18 \div 6\\[5px] & &\hspace{7px}\boldsymbol{x=-3} \end{eqnarray}

・〈エ〉の方程式に \(\boldsymbol{y=3}\) を代入する

\begin{eqnarray} & &-6x+15 \times \color{red}{3}=63\\[5px] & &-6x+45=63\\[5px] & &-6x=63-45=18\\[5px] & &\hspace{7px}x=18 \div -6\\[5px] & &\hspace{7px}\boldsymbol{x=-3} \end{eqnarray}

どの式に代入しても可能ですが、より楽に計算できるものにします。〈ウ〉〈エ〉のように係数が大きくなると、それだけ計算が面倒になるのでさけた方がよいでしょう。

\(\boldsymbol{5)}\) \(\boldsymbol{x=-3,\quad y=3}\) をもとの式に代入して、等式が成り立つか確認する

・〈ア〉　\(3x+2y=-3\) の式において \begin{eqnarray} \small{左　辺}&=&3 \times -3+2 \times 3=-9+6\\ &=&\color{red}{-3}\\[7px] \small{右　辺}&=&\color{red}{-3} \end{eqnarray}

・〈イ〉　\(-2x+5y=21\) の式において \begin{eqnarray} \small{左　辺}&=&-2 \times -3+5 \times 3=6+15=\color{red}{21}\\[7px] \small{右　辺}&=&\color{red}{21} \end{eqnarray}

どちらの式も両辺の値が一致するので、\(x=-3,\quad y=3\) が連立方程式の解として正しいことが確認できます。

∴　答　え　\(\boldsymbol{\color{blue}{x=-3,\quad y=3}}\)

\(\boldsymbol{b)\quad y}\) を消去する

\(x\) を消去する場合と同じようにして解きます。

\(\boldsymbol{1)}\) 式の両辺にある数を掛けて、消去したい \(\boldsymbol{y}\) の係数の絶対値を同じにする

ア の式の \(\boldsymbol{x}\) の係数：\(\boldsymbol{2}\)
イ の式の \(\boldsymbol{x}\) の係数：\(\boldsymbol{5}\)

それぞれの絶対値は \(|\;2\;|=2,\hspace{7px}|\;5\;|=5\) となるので、\(2\) 数の最小公倍数 \(10\) になるように、〈ア〉の方程式の両辺に \(5\) を、〈イ〉の方程式の両辺に \(2\) を掛けます。

\begin{eqnarray} & &(3x+2y) \times 5=-3 \times 5\\[5px] & &\boldsymbol{\color{crimson}{15x+10y=-15}}\;――\;\small{ウ}\\[12px] & &(-2x+5y) \times 2=21 \times 2\\[5px] & &\boldsymbol{\color{crimson}{-4x+10y=42}}\;――\;\small{エ} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{2)}\) 〈ウ〉〈エ〉 \(\boldsymbol{2}\) つの方程式を加減して、\(\boldsymbol{y}\) を消去する

上の式より　〈ウ〉 - 〈エ〉を行い、\(y\) を消去します。 \begin{array}{cccccc} & 15x & & + & & 10y & & = & & -15 &\\ -) & -4x & & + & & 10y & & = & & 42 &\\ \hline \end{array}

\begin{array}{cccccc} & 15x & & + & & 10y & & = & & -15 &\\ -) & \boldsymbol{\color{crimson}{-4x}} & & \boldsymbol{\color{crimson}{+}} & & \boldsymbol{\color{crimson}{10y}} & & \boldsymbol{\color{crimson}{=}} & & \boldsymbol{\color{crimson}{42}} &\\ \hline & \boldsymbol{19x} & & & & & & = & & \boldsymbol{-57} & \end{array}

\(\boldsymbol{3)}\) \(\boldsymbol{2)}\) の式を用いて、\(\boldsymbol{1}\) つの文字 \(\boldsymbol{x}\) の値を求める

\begin{eqnarray} & &19x=-57\\[5px] & &x=-57 \div 19\\[5px] & &\boldsymbol{x=-3} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{4)}\) \(\boldsymbol{x=-3}\) を〈ア〉～〈エ〉いずれかの方程式に代入する

〈ウ〉と〈エ〉は〈ア〉、〈イ〉の倍数であり計算が面倒になるので、ここでは〈ア〉と〈イ〉の式を使います。

・ 〈ア〉の方程式に \(\boldsymbol{x=-3}\) を代入する

\begin{eqnarray} & &3 \times -3+2y=-3\\[5px] & &-9+2y=-3\\[5px] & &2y=-3+9=6\\[5px] & &y=6 \div 2=3\\[5px] & &\boldsymbol{y=3} \end{eqnarray}

・ 〈イ〉の方程式に \(\boldsymbol{x=-3}\) を代入する

\begin{eqnarray} & &-2 \times -3+5y=21\\[5px] & &6+5y=21\\[5px] & &5y=21-6=15\\[5px] & &y=15 \div 5=3\\[5px] & &\boldsymbol{y=3} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{5)}\) \(\boldsymbol{x=-3,\hspace{7px}y=3}\) をもとの式に代入して、等式が成り立つかを確認する

\(x\) を消去する場合と結果は同じになります。\(2\) つの文字を同時に解くのは面倒なので、「代入法」・「加減法」を用いて \(1\) つずつ順に解いていくようにします。 どちらを用いてもよいのですが、連立方程式の \(1\) つに \(y=□□,\hspace{7px}x=△△\) の形がすでに含まれているようなときには代入法を用い、それ以外は、加減法で解くのが一般的です。

↑

inserted by FC2 system