＜
割合に関する問題
問 題
東中学校の今年度の生徒数は \(466\) 人で、昨年度の生徒数よりも \(4\) 名減少している。これを男女別に見ると、
男子の生徒数は昨年度よりも \(6\%\)減少し、女子の生徒数は \(5\%\) 増加した。昨年度の男女の生徒数を答えなさい。
| \(\small{①}\) |
\(\boldsymbol{x,\;y}\) を決める |
問題の答えは、「昨年度の男子と女子の生徒数」ですから、
| 昨年度の男子生徒数 \(=\boldsymbol{x}\)（人） |
| 昨年度の女子生徒数 \(=\boldsymbol{y}\)（人） |
\(\small{②}\) 連立方程式を立てる
問題文から、数量関係を表す日本語を探します。
| ア |
「今年度の生徒数は全部で \(\boldsymbol{466}\) 人で、昨年度の生徒数よりも \(\boldsymbol{4}\) 名少ない」 |
| イ |
「今年度の男子の生徒数は昨年度よりも \(\boldsymbol{6%}\) 少なく、女子の生徒数は \(\boldsymbol{5\%}\) 多い」 |
ア において、\(\small{①}\) より、
| 昨年度の東中学校の全生徒数 \(=\boldsymbol{\color{darkblue}{x+y}}\)（人） |
今年度の東中学校の全生徒数 \(=\boldsymbol{\color{darkblue}{466}}\)（人） |
今年度の生徒数は昨年度よりも \(4\) 名少ないので、
| (昨年度の生徒数) \(-\) (今年度の生徒数) \(=\boldsymbol{4}\) |
よって、
\begin{eqnarray}
& &(x+y)-466=4\\[5px]
& &\boldsymbol{\color{crimson}{x+y=470}}\;――\;\small{ウ}
\end{eqnarray}
イ において、
| 本年度の男子生徒数 \(\boldsymbol{=\left(1-\cfrac{6}{100} \right)x}\) (人) |
| 昨年度の女子生徒数 \(\boldsymbol{=y}\) (人) |
| 本年度の女子生徒数 \(\boldsymbol{=\left(1+\cfrac{5}{100} \right)y}\) (人) |
より、
\begin{eqnarray}
& &\left(1-\cfrac{6}{100} \right)x+\left(1+\cfrac{5}{100} \right)y=466\\[7px]
& &\boldsymbol{\cfrac{94}{100}x+\cfrac{105}{100}y=466}\;――\;\small{エ}
\end{eqnarray}
\(\small{③}\) 連立方程式を解く
\(\small{②}\) の〈ウ〉〈エ〉の連立方程式を解くのに、〈エ〉の式の両辺に \(100\) を掛けて分数を含まない式に直します
\begin{eqnarray}
& &\frac{94}{100}x \times 100+\cfrac{105}{100}y \times 100-466 \times 100\\[7px]
& &\boldsymbol{\color{crimson}{94x+105y=46600}}\;――\;\small{オ}
\end{eqnarray}
ウ、オを代入法で解きます。 ウ の式を
\[\boldsymbol{\color{darkblue}{x=470-y}}\]
にかえて、オ の式に代入して
\begin{eqnarray}
& &94 \times (\boldsymbol{\color{blue}{470-y}})+105y=46600\\[5px]
& &(100 \times 470-6 \times 470)-94y+105y\\[5px]
& &\hspace{12px}=46600\\[5px]
& &47000-2820+11y=46600\\[5px]
& &11y=46600-47000+2820\\[5px]
& &\hspace{12px}=-400+2820=2420\\[5px]
& &\boldsymbol{y=220}
\end{eqnarray}
\(\boldsymbol{y=220}\) を ウ の式に代入して \(x\) の値を求めます
\begin{eqnarray}
& &x=470-220\\[5px]
& &\boldsymbol{x=250}
\end{eqnarray}
\(x=250,\hspace{7px}y=220\) を エ の式に代入して連立方程式の解として正しいことを確認します
エ の式において
\begin{eqnarray}
\mathbf{左辺}\;&=&\cfrac{94}{100} \times \boldsymbol{\color{crimson}{250}}+\cfrac{105}{100} \times \boldsymbol{\color{crimson}{220}}\\
&=&94 \times 2.5+105 \times 2.2\\
&=&(100 \times 2.5-6 \times 2.5)+(100 \times 2.2+5 \times 2.2)\\[5px]
&=&(250-15)+(220+11)\\[5px]
&=&235+231\\[5px]
&=&\boldsymbol{466}\\[12px]
\mathbf{左辺}\;&=&\boldsymbol{466}
\end{eqnarray}
よって、これが連立方程式の解として正しいことがわかります。
| \(\small{④}\) |
求めた解が問題の答えとして適するかを確認する |
求める答えは「昨年度男子生徒数と女子生徒数」ですから、この解は問題の答えとして適しています。
| ∴ 答 え： |
昨年度の男子生徒数 \(\boldsymbol{\color{blue}{250}}\) 人 |
|
昨年度の女子生徒数 \(\boldsymbol{\color{blue}{220}}\) 人 |
濃度に関する問題
問 題
\(3\%\) の食塩水と \(8\%\) の食塩水を混ぜ合わせて、\(5\%\) の食塩水を \(500g\) つくりたい。
このとき、\(3\%\) の食塩水と\(8\%\) の食塩水をそれぞれ何 \(g\)ずつ混ぜ合わせたらよいか答えなさい。
\(\small{①}\) \(\boldsymbol{x,\;y}\) を決める
| \(3\%\) の食塩水 |
：基準となる「食塩水の重さ」の「\(\cfrac{3}{100}\) 倍の食塩の重さ」が溶けている食塩水 |
であることを思い出して下さい。
| \(\boldsymbol{3\%}\) の食塩水の重さ … \(\boldsymbol{x\;(g)}\) |
\(\boldsymbol{8\%}\) の食塩水の重さ … \(\boldsymbol{y\;(g)}\) |
とします
\(\small{②}\) 連立方程式を立てる
食塩水の濃度の関係を、表で表わします。
| \(\boldsymbol{3\%}\) の食塩水\(\boldsymbol{:x}\) |
\(\boldsymbol{=\;(}\)水の重さ\(\boldsymbol{)+(x}\) の \(\boldsymbol{\cfrac{3}{100}}\) 倍の重さの食塩\(\boldsymbol{})\) |
| 濃 度 |
食塩水の重さ \((g)\) |
食塩の重さ \((g)\) |
水の重さ \((g)\) |
| \(3\%\) |
\(\boldsymbol{x}\) |
\(\cfrac{3}{100}x\) |
\(\cfrac{97}{100}x\) |
| 水の重さ |
\(\boldsymbol{=\;x-(x}\) の \(\boldsymbol{\cfrac{3}{100}}\) 倍の重さの食塩\(\boldsymbol{)}\) |
より
\begin{eqnarray}
& &x-\frac{3}{100}x=\left(1-\frac{3}{100} \right)x\\[7px]
& &=\frac{100-3}{100}x=\boldsymbol{\frac{97}{100}x}
\end{eqnarray}
\(8\%\) の食塩水につても同じように考えて、
| 濃 度 |
食塩水の重さ \((g)\) |
食塩の重さ \((g)\) |
水の重さ \((g)\) |
| \(8\%\) |
\(\boldsymbol{y}\) |
\(\cfrac{8}{100}y\) |
\(\cfrac{92}{100}y\) |
次に、\(5\%\) の食塩水 \(500g\) 内の水の重さを求めます。
食塩の重さは、
\begin{eqnarray}
& &\frac{5}{100} \times 500\\[7px]
& &=5 \times 5\\[7px]
& &=\boldsymbol{25\;g}
\end{eqnarray}
よって、水の重さは
\[\boldsymbol{\color{crimson}{500-25=475\;(g)}}\]
これらを表にまとめると、
| 濃 度 |
食塩水の重さ (g) |
食塩の重さ (g) |
水の重さ (g) |
| \(3\%\) |
\(\boldsymbol{x}\) |
\(\cfrac{3}{100}x\) |
\(\cfrac{97}{100}x\) |
| \(8\%\) |
\(\boldsymbol{y}\) |
\(\cfrac{y}{100}y\) |
\(\cfrac{92}{100}y\) |
| \(5\%\) |
\(\boldsymbol{500}\) |
\(\boldsymbol{25}\) |
\(\boldsymbol{475}\) |
表のたての部分が問題文にかかれた数量関係を表します。
| ア |
\(\boldsymbol{3\%}\) の食塩水 \(\boldsymbol{x\;g}\) と \(\boldsymbol{8\%}\) の食塩水 \(\boldsymbol{y\;g}\) を混ぜ合わせて \(\boldsymbol{5\%}\) の食塩水を \(\boldsymbol{500\;g}\) つくる |
| イ |
\(\boldsymbol{3\%}\) の食塩水に含まれる食塩と \(\boldsymbol{8\%}\) の食塩水に含まれる食塩を合わせると \(\boldsymbol{25\;g}\) になる |
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\boldsymbol{x+y=500}\;――\;\small{ア}\\[10px]
\boldsymbol{\cfrac{3}{100}x+\cfrac{8}{100}y=25}\;――\;\small{イ}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\(\small{③}\) 連立方程式を解く
イ の式の両辺に \(100\) を掛け、分数を含まない式に直します
\[\boldsymbol{3x+8y=2500}\;――\;\small{ウ}\]
ア と ウ を代入法で解きます。
ア の式において
\begin{eqnarray}
& &x+y=500\\[5px]
& &\boldsymbol{x=500-y}\;――\;\small{エ}
\end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray}
& &3 \times (\boldsymbol{\color{blue}{500-y}})+8y=2500\\[5px]
& &1500-3y+8y=2500\\[5px]
& &(8-3)y=2500-1500\\[5px]
& &5y=1000\\[5px]
& &\boldsymbol{y=200}
\end{eqnarray}
\(y=200\) を エ の式に代入して
\begin{eqnarray}
& &x=500-200\\[5px]
& &\boldsymbol{x=300}
\end{eqnarray}
\(x=300,\quad y=200\) を イ の式に代入して連立方程式の解として正しいか確認します。
イ の式において、
\begin{eqnarray}
& &\mathbf{左\;辺}\;=\frac{3}{100} \times \boldsymbol{\color{crimson}{300}}+\frac{8}{100} \times \boldsymbol{\color{crimson}{200}}\\[7px]
& &\hspace{49px}=9+16=\boldsymbol{25}\\[7px]
& &\mathbf{右\;辺}\;=\boldsymbol{25}
\end{eqnarray}
この解は連立方程式の解として正しいことがわかります。
| \(\small{④}\) |
\(\small{③}\) の解が問題の答えとして適するか確認する |
問題の答えは、「混ぜ合わせるべき \(3\%\) の食塩水と \(5\%\) の食塩水の量」ですから、
| 答 え： |
\(\boldsymbol{3\%}\) の食塩水 \(\boldsymbol{300\;g}\) |
|
\(\boldsymbol{5\%}\) の食塩水 \(\boldsymbol{200\;g}\) |
