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二等辺三角形
定義と定理については、以前、少し触れましたが、用語の意味を述べた文や数式を表す定義は、ただ \(1\) つの決まり事であるのに対して、定理は、特徴や性質を述べたものをいい、必ずしも \(1\) つとは限りません。ここでは、三角形や四角形の定義や定理について詳しく学習します。| ・二等辺三角形や直角三角形の性質 |
| ・平行四辺形の性質について |
| ・平行線と図形の面積との関係 |
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二等辺三角形
定 義| 二等辺三角形 | ：\(\boldsymbol{2}\) 辺が等しい三角形を二等辺三角形という |
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二等辺三角形の底角は等しい
証明するために補助線として、二等辺三角形の頂角の二等分線を底辺と交わるように引きます。 |
二等辺三角形の底辺 \(BC\) と交わるような頂角の二等分線 \(\boldsymbol{AD}\) を引きます。 \(\boldsymbol{△ABD}\) と \(\boldsymbol{△ACD}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\ & &AB=AC\;.....\;\small{ア\;――\;(\color{red}{二等辺三角形の\;2\;辺})}\\[12px] & &∠BAD=∠CAD\;.....\;\small{イ}\\ & &AD=DA\;.....\;\small{ウ\;――\;(\color{red}{共通の辺})} \end{eqnarray} ア～ウより、
\(\boldsymbol{2}\) 辺とその間の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{\color{crimson}{△ABD≡ △ACD}}\] 合同な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する角はすべて等しいので、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{∠ABD=∠ACD}\\[5px] & &\small{となり、}\\ & &\boldsymbol{\color{blue}{∠ABD=∠B,\hspace{10px}∠ACD=∠C}}\\[5px] & &\small{より、} \end{eqnarray} 二等辺三角形の底角は等しい … 証明終わり
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に \(\boldsymbol{2}\) 等分する
同じく、\(2\) 辺 \(AB=AC\) の二等辺三角形 \(ABC\) において、頂角 \(A\) の二等分線と底辺 \(BC\) との交点を \(D\) とする線分 \(AD\) を 引き、\(\boldsymbol{BD=CD,\;AD\;⊥\;BC}\) であることを証明します。 |
\(\boldsymbol{△ABD}\) と \(\boldsymbol{△ACD}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\[5px] & &AB=AC\;.....\;\small{ア\;――\;(\color{red}{二等辺三角形の底角})}\\ & &∠BAD=∠CAD\;.....\;\small{イ}\\ & &AD=DA\;.....\;\small{ウ\;――\;(\color{red}{共通の辺})} \end{eqnarray} ア \(\sim\) ウ より、
\(\boldsymbol{2}\) 辺とその間の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから \[\boldsymbol{\color{crimson}{△ABD ≡ △ACD}}\] 合同な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しいので \[\boldsymbol{\color{crimson}{BD=CD}}\;.....\;\small{エ}\] また、
合同な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する角はすべて等しいので、 \[∠ADB = ∠ADC\;.....\;\small{オ}\] 直線のつくる角は\(\boldsymbol{180^{\circ}}\)であるから、 \[∠ADB+∠ADC=180^{\circ}\] オ より、 \[∠ADB=∠ADC=90°\] よって、 \[\boldsymbol{\boldsymbol{\color{blue}{AD\;⊥\;BC}}}\] となり、
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する … 証明終わり
\(\boldsymbol{2}\) つの角が等しい三角形は二等辺三角形である
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\(△ABC\) の頂角 \(A\) を二等分する直線が底辺 \(BC\) と交わる点を \(D\) とすると
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\(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから \[\boldsymbol{\color{crimson}{△ABD ≡ △ACD}}\] 合同な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しいので \[\boldsymbol{\boldsymbol{\color{blue}{AB=AC}}}\] となり
\(\boldsymbol{2}\) 角が等しい三角形は二等辺三角形である
… 証明終わり
正三角形
定 義| 正三角形 | \(\boldsymbol{3}\) 辺が等しい三角形を正三角形という |
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正三角形の \(\boldsymbol{3}\) つの内角は等しい
仮定の 「正三角形である」を、「\(\boldsymbol{3}\) 辺の長さが等しい」に置き換え、証明には、二等辺三角形の性質を利用します。 |
正三角形 \(\boldsymbol{ABC}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\ & &\boldsymbol{AB=BC=CA}\;....\;\small{ア}\\[7px] & &△ABC\;\small{を、}\\ & &AB=AC\;\small{の二等辺三角形と考えて}\\ & &\boldsymbol{∠B=∠C}\;.....\;\small{イ\;――\;(\color{red}{二等辺三角形の底角})}\\[7px] & &\small{同じく、}\;\small{△ABC}\;\small{を、}\\ & &BC=CA\;\small{の二等辺三角形と考えて}\\ & &\boldsymbol{∠A=∠B}\;.....\;\small{ウ\;――\;(\color{red}{二等辺三角形の底角})}\\[7px] & &\small{イ,\;ウ\;より、}\\ & &\boldsymbol{\color{blue}{∠A=∠B=∠C}} \end{eqnarray}
| ∴ 正三角形の \(\boldsymbol{3}\) つの内角は等しい | … 証明終わり |
\(\boldsymbol{3}\) つの内角が等しい三角形は正三角形である
二等辺三角形の性質を利用します。 |
三角形 \(\boldsymbol{ABC}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\ & &\boldsymbol{∠B=∠C}\;.....\;\small{ア}\\[7px] & &\boldsymbol{2}\;\small{}角が等しい三角形は二等辺三角形\\ & &\small{だから、}\\ & &\boldsymbol{AB=AC}\;.....\;\small{イ}\\[7px] & &\small{また、仮定より、}\\ & &\boldsymbol{∠A=∠B}\;.....\;\small{ウ}\\[7px] & &\small{同じく、}\\ & &\boldsymbol{BA=BC}\;....\;\small{エ}\\[7px] & &\small{イ,エ\;より、}\\ & &\boldsymbol{\color{blue}{AB=BC=CA}} \end{eqnarray}
| ∴ \(\boldsymbol{3}\) つの角が等しい三角形は正三角形である | … 証明終わり |
ことがらの逆
ある事柄について証明する場合、仮定から結論を導き出しますが、結論から仮定を導きだすことをことがらの逆といいます。| 「〇〇 ならば ××」 |
| ことがらの逆 |
| 「×× ならば 〇〇」 |
| 「\(\boldsymbol{AB=AC}\) ならば、\(\boldsymbol{∠B=∠C}\) である」 |
| 「\(\boldsymbol{∠B=∠C}\) であるならば、\(\boldsymbol{AB=AC}\) である」 |
一方、\(△ABC\) において、
| 「正三角形は \((=\)ならば\()\) 二等辺三角形である」 |
| 「二等辺三角形ならば、正三角形である」 |