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二等辺三角形

用語の意味を述べた文や数式の定義は、ただ1つの決まりごとであるのに対して、定理は特徴や性質を言うので1つだけとは限りません。二等辺三角形をはじめとする三角形には1つの定義と複数の定理があり、図形の証明問題では、これらの定義や定理を利用して解いていきます。

 
三角形と四角形 主な学習のポイント
・二等辺三角形や直角三角形の性質を理解する
・平行四辺形の性質を理解する
・平行線と図形の面積との関係を理解する
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二等辺三角形

二等辺三角形の定義
 ―― 2辺が等しい三角形を二等辺三角形という

二等辺三角形の等しい2辺(=AB, AC)の間の角を 頂角(ちょうかく)といい、頂角以外の2角を 底角(ていかく)といいます。 また、頂角の対辺を底辺(ていへん)といいます。 二等辺三角形にはいくつか重要な定理性質)がありますので、しっかり覚えてください。

◆ 定 理1

 ―― 二等辺三角形の底角は等しい

ここでは、証明するために補助線として、二等辺三角形の頂角の二等分線を底辺と交わる直線を引きます。

証 明
 二等辺三角形の頂角の二等分線を底辺BC と交わるような線分 AD を引きます。
△ABD と △ACD において、

   
仮定より、
AB = AC ..... ア
 ――(二等辺三角形の2辺)
∠BAD = ∠CAD ..... イ
AD = DA ..... ウ
 ――(共通の辺)

ア~ウより、
2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同
であるから、

△ABD≡ △ACD

である
合同な2つの三角形の対応する角はすべて等しい
ので、

   
∠ABD = ∠ACD
となり、
∠ABD = ∠B,  ∠ACD = ∠C
より、

二等辺三角形の底角は等しい  ・・・ 証明終わり


◆ 定 理2

 ―― 二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に
    2等分する

定理1と同じく、 AB=AC の二等辺三角形ABC において、頂角A の二等分線と底辺BC との交点を D とする線分AD を 引き、BD = CD, AD ⊥ BC であることを証明します。


証 明
 △ABD△ACD において、

仮定より、
AB = AC ..... ア
 ――(二等辺三角形の底角)
∠BAD = ∠CAD ..... イ
AD = DA ..... ウ
 ――(共通の辺)

ア~ウより、
2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同
であるから

△ABD≡ △ACD

である
合同な2つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しい
ので

BD = CD ..... エ

また、
合同な2つの三角形の対応する角はすべて等しい
ので、

∠ADB = ∠ADC ..... オ

直線のつくる角はは180°であるから、

∠ADB + ∠ADC = 180°
オ より、
∠ADB = ∠ADC = 90°

よって、 AD ⊥ BCとなり、
 二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分
 する
 ・・・ 証明終わり


◆ 定 理3

 ―― 2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である

この場合、

仮定: ∠B = ∠C
結論: AB = AC

となります。

証 明
 △ABC の頂角A を二等分する直線が底辺BC と交わる点を D とすると
 △ABD△ACD において、

仮定より、
∠ABD = ∠ACD ..... ア
∠BAD = ∠CAD ..... イ
∠ADB = 180 - (∠ABD + ∠BAD)
∠ADC = 180 - (∠ACD + ∠CAD)

これにより、

∠ADB = ∠ADC ..... ウ
また、
AD = DA ..... エ
 (共通の辺)

イ ウ エ より、
1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同
であるから

△ABD≡ △ACD

である
合同な2つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しい
ので
  AB = ACとなり
  2角が等しい三角形は二等辺三角形である
  ・・・ 証明終わり


正三角形

正三角形の定義
 ―― 3辺が等しい三角形を正三角形という

◆ 定 理1

 ―― 正三角形の3つの内角は等しい

この定理での仮定「正三角形である」を、「3辺の長さが等しい」に置き換えることができます。また、証明には、二等辺三角形の性質を利用します。

証 明
 正三角形ABC において、

仮定より、
AB = BC = CA .... ア

△ABC を、AB = AC の二等辺三角形と考えて

∠B = ∠C .....  イ
 ――(二等辺三角形の底角)

同じく、△ABC を、BC = CA の二等辺三角形と考えて

∠A = ∠B ..... ウ
 ――(二等辺三角形の底角)

イ ウより、

∠A = ∠B = ∠C

 ∴ 正三角形の3つの内角は等しい
   ・・・ 証明終わり

◆ 定 理 2

 ―― 3つの内角が等しい三角形は正三角形である

二等辺三角形の性質を利用します。

証 明
 三角形 ABC において、

仮定より、
∠B = ∠C ..... ア
よって、2角が等しい三角形は二等辺三角形だから、
AB = AC  ..... イ
また、仮定より、
∠A = ∠B ..... ウ
同じく、
BA = BC .... エ

イ エより、AB = BC = CA
 ∴ 3つの角が等しい三角形は正三角形である  ・・・ 証明終わり


ことがらの逆

ある事柄について証明する場合、仮定から結論を導き出すという手順で行いましたが、仮定と結論を入れかえることをことがらの逆といいます。

「〇〇 ならば ××」

では、〇〇の部分が仮定で、××の部分が結論ですが、

ことがらの逆
 「×× ならば 〇〇」

を言う場合、前者が正しくてもその逆である後者が正しいとは限らないことに注意します。たとえば、
△ABC において、
 「AB = AC であるならば、∠B = ∠C である」
の逆は、
 「∠B = ∠C であるならば、AB = AC  である」
ですが、これは二等辺三角形の定理
 「2角が等しい三角形は二等辺三角形である」
に当たるので正しいです。一方、
△ABC において、
 「正三角形は(=ならば)二等辺三角形である」
の場合、

ことがらの逆
「二等辺三角形ならば、正三角形である」

とは言えません。二等辺三角形の残りの1辺の長さが異なるものは無数にあるからです。

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