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直角三角形

直角三角形の定義は、次の通り。

直角三角形 \(\boldsymbol{1}\) つの内角が直角である三角形を直角三角形という

直角三角形の合同条件

直角三角形の合同条件は、ほかの三角形とは異なります。

内角の \(1\) つが \(\boldsymbol{90^{\circ}}\) の直角三角形の残りの \(2\) 角は鋭角\(0^{\circ}\) より大きく \(90^{\circ}\) より小さい角)になります。また、直角に 向かい合う辺を斜辺(しゃへん)といいます。

三角形の合同条件は
\(\boldsymbol{1)}\) \(\boldsymbol{3}\) 辺がそれぞれ等しい
\(\boldsymbol{2)}\) \(\boldsymbol{2}\) 辺とその間の角がそれぞれ等しい
\(\boldsymbol{3)}\) \(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい

でしたが、直角三角形にはこのほかに

・ 斜辺と \(\boldsymbol{1}\) つの鋭角がそれぞれ等しい
・ 斜辺と他の \(\boldsymbol{1}\) 辺がそれぞれ等しい

の \(2\) つの条件が当てはまることで合同を証明することができます。

*斜辺と \(\boldsymbol{1}\) つの鋭角がそれぞれ等しい
 図のような \(2\) つの直角三角形について考えます

証 明
 \(\boldsymbol{△ABC}\) と \(\boldsymbol{△DEF}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\ & &\boldsymbol{AB=DE\;――\;1}\\ & &\boldsymbol{∠A=∠D\;――\;2}\\[7px] & &\small{また、}\\ & &∠B=180-(90+∠A),\\ & &∠E=180-(90+∠D)\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &\boldsymbol{∠B=∠E\;――\;3}\\ & &1\;\sim\;3\;\small{より、} \end{eqnarray} \(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABC ≡ △DEF}}\] である … 証明終わり

*斜辺と他の \(\boldsymbol{1}\) 辺がそれぞれ等しい

上図のような \(2\) つの直角三角形 \(ABC\) と \(DEF\) が合同であることを証明しますが、与えられた仮定だけでは証明が難しくなります。そこで、ひと工夫します。

図のように、\(2\) つの直角三角形の頂点 \(\boldsymbol{A}\) と 頂点 \(\boldsymbol{D}\), 頂点 \(\boldsymbol{C}\) と 頂点 \(\boldsymbol{F}\) がぴったり重なり合うような図形をつくることで、 二等辺三角形 \(\boldsymbol{ABE}\) が出来上がります。これにより、二等辺三角形の性質が利用できます。

証 明
 \(△ABC\) と \(△DEF\) において、\(2\) つの三角形の頂点 \(A\) と頂点 \(D,\) 頂点 \(C\) と頂点 \(F\) を重ね合わせると、

\begin{eqnarray} & &\boldsymbol{∠BCE}\;(∠BFE)\\[5px] & &\hspace{14px}=∠ACB+∠DFE\\[5px] & &\hspace{14px}=90+90=180 \end{eqnarray}

となり、
点 \(\boldsymbol{B,\;C,\;F,\;E}\) は一直線上に並ぶことで \(1\) つの三角形 \(\boldsymbol{ABE}\) が出来上がります

\(\boldsymbol{△ABE}\) において、
仮定より、 \[\boldsymbol{AB=AE}\] であるから、この三角形は二等辺三角形である。
よって、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{∠B=∠E}\;――\;1\\[7px] & &\small{仮定より、}\\ & &\boldsymbol{AB=DE}\;――\;2\\[12px] & &∠A=180-(90+∠B),\\ & &∠D=180-(90+∠E)\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &\boldsymbol{∠A=∠D}\;――\;3 \end{eqnarray}

\(1\;\sim\;3\) より、
\(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABC ≡ △DEF}}\] である … 証明終わり

直角三角形独自の合同条件を利用した証明問題は、多く出題されています。


・直角三角形の合同条件についての入試問題

図のように、正方形 \(ABCD\) を \(AD\) の中点 \(M\) と頂点 \(B\) を結ぶ線を 折り目として折り返し、頂点 \(A\) が折りかえる点を \(E\) とする。 \(ME\) の延長と辺 \(DC\) の交点を \(F\) とするとき、\(△FCB ≡ △FEB\) であることを証明しなさい。

証 明
証明すべき図形を示します
 \(\boldsymbol{△FCB}\) と \(\boldsymbol{△FEB}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\ & &AB=BC\;――\;(\color{red}{正方形の\;1\;辺})\\ & &AB=EB\;――\;(\color{red}{折りかえしの辺})\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &\boldsymbol{EB=BC}\;――\;\small{①}\\ & &\boldsymbol{∠FEB=∠FCB=90^{\circ}}\;――\;\small{②}\\ & &\boldsymbol{BF=FB}\;――\;\small{③\;(\color{red}{共通の辺})} \end{eqnarray}

\(\small{①}\;\sim\;\small{③}\) より、
斜辺と他の \(\boldsymbol{1}\) 辺がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの直角三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△FCB ≡ △FEB}}\] である … 証明終わり

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