直角三角形
直角三角形の定義は、次の通り。直角三角形 | \(\boldsymbol{1}\) つの内角が直角である三角形を直角三角形という |
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直角三角形の合同条件
直角三角形の合同条件は、ほかの三角形とは異なります。\(\boldsymbol{1)}\) \(\boldsymbol{3}\) 辺がそれぞれ等しい |
\(\boldsymbol{2)}\) \(\boldsymbol{2}\) 辺とその間の角がそれぞれ等しい |
\(\boldsymbol{3)}\) \(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい |
・ 斜辺と \(\boldsymbol{1}\) つの鋭角がそれぞれ等しい |
・ 斜辺と他の \(\boldsymbol{1}\) 辺がそれぞれ等しい |
図のような \(2\) つの直角三角形について考えます
\(\boldsymbol{△ABC}\) と \(\boldsymbol{△DEF}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\ & &\boldsymbol{AB=DE\;――\;1}\\ & &\boldsymbol{∠A=∠D\;――\;2}\\[7px] & &\small{また、}\\ & &∠B=180-(90+∠A),\\ & &∠E=180-(90+∠D)\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &\boldsymbol{∠B=∠E\;――\;3}\\ & &1\;\sim\;3\;\small{より、} \end{eqnarray} \(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABC ≡ △DEF}}\] である … 証明終わり *斜辺と他の \(\boldsymbol{1}\) 辺がそれぞれ等しい
\(△ABC\) と \(△DEF\) において、\(2\) つの三角形の頂点 \(A\) と頂点 \(D,\) 頂点 \(C\) と頂点 \(F\) を重ね合わせると、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{∠BCE}\;(∠BFE)\\[5px] & &\hspace{14px}=∠ACB+∠DFE\\[5px] & &\hspace{14px}=90+90=180 \end{eqnarray} となり、
点 \(\boldsymbol{B,\;C,\;F,\;E}\) は一直線上に並ぶことで \(1\) つの三角形 \(\boldsymbol{ABE}\) が出来上がります \(\boldsymbol{△ABE}\) において、
仮定より、 \[\boldsymbol{AB=AE}\] であるから、この三角形は二等辺三角形である。
よって、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{∠B=∠E}\;――\;1\\[7px] & &\small{仮定より、}\\ & &\boldsymbol{AB=DE}\;――\;2\\[12px] & &∠A=180-(90+∠B),\\ & &∠D=180-(90+∠E)\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &\boldsymbol{∠A=∠D}\;――\;3 \end{eqnarray} \(1\;\sim\;3\) より、
\(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABC ≡ △DEF}}\] である … 証明終わり 直角三角形独自の合同条件を利用した証明問題は、多く出題されています。
・直角三角形の合同条件についての入試問題
図のように、正方形 \(ABCD\) を \(AD\) の中点 \(M\) と頂点 \(B\) を結ぶ線を
折り目として折り返し、頂点 \(A\) が折りかえる点を \(E\) とする。
\(ME\) の延長と辺 \(DC\) の交点を \(F\) とするとき、\(△FCB ≡ △FEB\) であることを証明しなさい。
証明すべき図形を示します
\(\boldsymbol{△FCB}\) と \(\boldsymbol{△FEB}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\ & &AB=BC\;――\;(\color{red}{正方形の\;1\;辺})\\ & &AB=EB\;――\;(\color{red}{折りかえしの辺})\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &\boldsymbol{EB=BC}\;――\;\small{①}\\ & &\boldsymbol{∠FEB=∠FCB=90^{\circ}}\;――\;\small{②}\\ & &\boldsymbol{BF=FB}\;――\;\small{③\;(\color{red}{共通の辺})} \end{eqnarray} \(\small{①}\;\sim\;\small{③}\) より、
斜辺と他の \(\boldsymbol{1}\) 辺がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの直角三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△FCB ≡ △FEB}}\] である … 証明終わり