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平行と面積

三角形には、「底辺と高さが等しければ、形が異なっても面積は等しい」「高さの等しい三角形の面積比は、底辺の長さに比例する」という性質があります。

等積変形（とうせきへんけい）

図形の面積を変えずに形を変えることを等積変形といいます。複数の図形において〈等〉しい面〈積〉のまま形を〈変〉えるから等積変形と覚えましょう。 等積変形は図形の証明によく用いられるので、しっかり覚えましょう。

図のように、\(2\) 本の直線 \(l\) と \(m\) があり、

\(\boldsymbol{l\;/\!/\;m}\)

であるとします。
直線 \(l\) 上に \(2\) 点 \(A,\;A'\), 直線 \(m\) 上に \(2\) 点 \(B,\;C\) をとり、\(△ABC\) と \(△A'BC\) をつくります。 このとき、\(△ABC\) の高さを \(\boldsymbol{AH}\), \(△A'BC\) の高さを \(\boldsymbol{AI}\) とすると、
\(△ABC\) と \(△A'BC\) の面積は

三角形の面積 \(=\boldsymbol{\cfrac{1}{2}} \times\) 底辺 \(\boldsymbol{\times}\) 高さ

より、 \begin{eqnarray} & &△ABC=\frac{1}{2} \times AB \times AH\\ & &△A'BC=\frac{1}{2} \times AB \times A'I\\[7px] & &l\;/\!/\;m\\[7px] & &\small{より、}\\[7px] & &\boldsymbol{AH=A'I}\\[7px] & &\small{よって、}\\[7px] & &\frac{1}{2} \times AB \times AH\\ & &=\frac{1}{2} \times AB \times A'I\\[7px] & &\small{となり、}\\[7px] & &\boldsymbol{△ABC=△A'BC} \end{eqnarray}

もとの三角形と底辺が共通（\(=\)長さが等しく）で、 もとの三角形の頂点を通り、底辺に平行な直線上のどの位置にもう \(1\) つの三角形の頂点があっても、お互いの底辺と高さが等しくなるので、三角形の面積が等しくなります。

例　題：
図において、\(l\;/\!/\;m\) であるとき、 \[\boldsymbol{△AOB=△DOC}\] である

説　明
　\(\boldsymbol{△ABC}\) と \(\boldsymbol{△DCB}\) において、 \begin{eqnarray} & &l\;/\!/\;m,\;BC = CB\\[5px] & &\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{△ABC=△DCB}\;――\;1\\[7px] & &\boldsymbol{△ABO=△ABC-△OBC}\;――\;2\\[7px] & &\boldsymbol{△DCO=△DCB-△OBC}\;――\;3\\[7px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\boldsymbol{\color{blue}{△ABO=△DOC}} \end{eqnarray}

である … 説明終わり

次の四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい三角形を作図してみましょう。

等積変形を行う場合、四角形の対角線を利用します。図 \(2\) のように、対角線 \(AC,\;BD\) を引いて \(2\) つの三角形に分割する方法をとります。

対角線 \(\boldsymbol{BD}\) を引く

\(\boldsymbol{i.}\) 頂点 \(\boldsymbol{A}\) を通り、対角線 \(\boldsymbol{BD}\) と平行な直線を引いて、\(\boldsymbol{△ABD}\) と同じ面積の三角形をつくる

ア　\(\boldsymbol{□ABCD=△DPC}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{BD}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{A}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{BC}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{P}\) とする
\(\small{③}\) \(3\) 点 \(\boldsymbol{D,\;P,\;C}\) を結べば四角形 \(ABCD\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△DPC}\) ができる

このとき、 \[\boldsymbol{BD\;/\!/\;PA}\] ですから、\(△ABD\) と \(△PBD\) は底辺が共通で高さが等しくなり、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABD=△PBD}}\] となります。

イ　\(\boldsymbol{□ABCD=△QBC}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{BD}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{A}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{CD}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{Q}\) とする
\(\small{③}\) \(3\) 点 \(\boldsymbol{Q,\;B,\;C}\) を結べば四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△QBC}\) ができる

同じく、 \[\boldsymbol{BD\;/\!/\;AQ}\] ですから、\(△ABD\) と \(△QBD\) は底辺が共通で高さが等しく、 \[\boldsymbol{△ABD=△QBD}\] となります。

\(\boldsymbol{ii.}\) 頂点 \(\boldsymbol{C}\) を通り、対角線 \(\boldsymbol{BD}\) と平行な直線を引いて、\(\boldsymbol{△DBC}\) と同じ面積の三角形をつくる

ウ　\(\boldsymbol{□ABCD=△APD}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{BD}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{C}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{AB}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{P}\) とする
\(\small{③}\) \(\boldsymbol{3}\) 点 \(\boldsymbol{A,\;P,\;D}\) を結べば四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△APD}\) ができる

\[\boldsymbol{BD\;/\!/\;PC}\] ですから、\(\boldsymbol{△DBC}\) と \(\boldsymbol{△DBP}\) は底辺が共通で高さが等しくなり、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△DBC=△DBP}}\] となります。

エ　\(\boldsymbol{□ABCD=△ABQ}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{BD}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{C}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{AD}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{Q}\) とする
\(\small{③}\) \(\boldsymbol{3}\) 点 \(\boldsymbol{A,\;B,\;Q}\) を結べば四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△ABQ}\) ができる

同じく、 \[\boldsymbol{BD\;/\!/\;CQ}\] から、\(\boldsymbol{△DBC}\) と \(\boldsymbol{△DBQ}\) は底辺が共通で高さが等しく、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△DBC=△DBQ}}\]

対角線 \(\boldsymbol{AC}\) を引く

\(\boldsymbol{i.}\) 頂点 \(\boldsymbol{D}\) を通り、対角線 \(\boldsymbol{AC}\) と平行な直線を引いて、\(\boldsymbol{△ACD}\) と同じ面積の三角形をつくる

ア　\(\boldsymbol{□ABCD=△ABP}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{AC}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{D}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{BC}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{P}\) とする
\(\small{③}\) \(\boldsymbol{3}\) 点 \(\boldsymbol{A,\;B,\;P}\) を結べば四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△ABP}\) ができる

このとき、　 \[\boldsymbol{AC\;/\!/\;DP}\] から、\(\boldsymbol{△ACD}\) と \(\boldsymbol{△ACP}\) は底辺が共通で高さが等しくなり、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ACD=△ACP}}\] になります。

イ　\(\boldsymbol{□ABCD=△QBC}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{AC}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{D}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{AB}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{Q}\) とする
\(\small{③}\) \(\boldsymbol{3}\) 点 \(\boldsymbol{Q,\;B,\;C}\) を結べば四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△QBC}\) ができる

同じく、 \[\boldsymbol{AC\;/\!/\;DP}\] ですから、\(\boldsymbol{△ACD}\) と \(\boldsymbol{△ACQ}\) は底辺が共通で高さが等しくなり、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ACD=△ACQ}}\] になります。

\(\boldsymbol{ii.}\) 頂点 \(B\) を通り、対角線 \(AC\) と平行な直線を引いて、\(△ABC\) と同じ面積の三角形をつくる

ウ　\(\boldsymbol{□ABCD=△DPC}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{AC}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{B}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{AD}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{P}\) とする
\(\small{③}\) \(\boldsymbol{3}\) 点 \(\boldsymbol{D,\;P,\;C}\) を結べば四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△DPC}\) ができる

このとき、 \[\boldsymbol{AC\;/\!/\;PB}\] から、\(\boldsymbol{△ABC}\) と \(\boldsymbol{△APC}\) は底辺が共通で高さが等しく、

\[\boldsymbol{\color{blue}{△ABC=△APC}}\] になります。

エ　\(\boldsymbol{□ABCD=△AQD}\)

\(\small{①}\) 対角線 \(\boldsymbol{AC}\) に平行で四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の頂点 \(\boldsymbol{B}\) を通る直線を引く
\(\small{②}\) \(\small{①}\) の直線と辺 \(\boldsymbol{CD}\) の延長との交点を \(\boldsymbol{Q}\) とする
\(\small{③}\) \(\boldsymbol{3}\) 点 \(\boldsymbol{A,\;Q,\;D}\) を結べば四角形 \(\boldsymbol{ABCD}\) と面積の等しい \(\boldsymbol{△AQD}\) ができる

\[\boldsymbol{AC\;/\!/\;BQ}\] から、\(\boldsymbol{△ABC}\) と \(\boldsymbol{△AQC}\) は底辺が共通で高さが等しくなり、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABC=△AQC}}\]

である。このように、複数の三角形に等積変形できます。どれか1つできればよいのですが、ここではいろいろに作図が可能であることを覚えてください。

三角形の面積比

三角形の面積\(\boldsymbol{=\cfrac{1}{2}} \times\) 底辺 \(\times\) 高さ

より、

\(\small{①}\) 高さが同じ三角形の面積比は底辺の長さの比に等しい

下の図において、 \[\boldsymbol{△ABC\;:\;△DEF=\color{red}{BC\;:\;EF}}\]

\(\small{②}\) 底辺が同じ三角形の面積比は高さの比に等しい

下の図において、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{△ABC\;:\;△MBC=\color{red}{AH\;:\;MI}}\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{AN\;:\;MN}} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} & &\boldsymbol{△NMI\backsim△NAH }\\[5px] & &\small{より、}\\[7px] & &\boldsymbol{AH:MI=AN:MN}\\[5px] & &\small{が成り立ちます}\\[5px] \end{eqnarray}

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