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単項式の乗法・除法

単項式は文字と数の積の形の式であるから、単項式の乗法では乗法の交換法則や結合法則を利用して計算します。また、除法は逆数の乗法に直して乗法の計算方法用います。

単項式の乗法

数と文字をいくつか掛け合わせた「積」の形である単項式を掛け合わせれば、すべてが乗法の形になります。そのため、単項式の乗法では、

乗法の交換法則:\(\boldsymbol{a \times b=b \times a}\)
乗法の結合法則:\(\boldsymbol{(a \times b) \times c=a \times (b \times c)}\)

を利用して計算できます。

例 題:
次の単項式を計算しなさい。

\((1)\quad 3a \times (-4a)\) \((2)\quad (-3x)^3\)

* 乗法の交換法則や結合法則を利用するとき、途中式で省略されている乗法記号「\(\times\)」を表示するようにします

\begin{eqnarray} & &(1)\;→\\[5px] & &\hspace{9px}=3 \times a \times (-4) \times b\\[7px] & &\small{乗法の交換法則を利用して、}\\ & &\hspace{9px}=3 \times (-4) \times a \times b\\ & &\hspace{9px}=-12 \times ab\\ & &\hspace{9px}=\boldsymbol{\color{blue}{-12ab}}\;…\;\small{答え}\\[15px] & &(2)\;→\\[5px] & &(-3\times x) \times (-3\times x) \times(-3 \times x)\\ & &-(3 \times 3 \times 3) \times x \times x \times x\\ & &(-27) \times x^3\\ & &\hspace{9px}=\boldsymbol{\color{blue}{-27x^3}}\;…\;\small{答え} \end{eqnarray}

単項式の除法

除法は、逆数の乗法に直して計算します。

例 題:
次の単項式を計算しなさい。
\((1)\quad 28a^2b \div 7a\) \((2)\quad \cfrac{4}{9}xy^2 \div \cfrac{1}{3}y\)

\begin{eqnarray} & &(1)\;→\\[5px] & &28a^2b \boldsymbol{\color{red}{\times \cfrac{1}{7a}}}\\[7px] & &=\frac{28 \times a \times a \times a}{7 \times a}\\[7px] & &=\frac{\boldsymbol{\color{red}{4}} \times \boldsymbol{\color{red}{1}} \times a \times b}{1 \times 1}\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{4ab}}\;…\;\small{答え}\\[15px] & &(2)\;→\\[5px] & &\frac{4 \times x \times y \times y \times 3}{9 \times y}=\cfrac{4 \times 3 \times y \times y \times x}{9 \times y}\\[7px] & &\frac{4 \times \boldsymbol{\color{red}{1}} \times y \times y \times \boldsymbol{\color{red}{1}}}{\boldsymbol{\color{red}{3 \times 1}}}\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{\cfrac{4}{3}xy}}\;…\;\small{答え} \end{eqnarray}

式の値

文字式に代入する数のことを「文字の値」といい、代入して得られた結果を「式の値」というのを \(1\) 年で学習しましたが、 ここでは複数の文字を含むような複雑な式について式の値を求めます。

例 題

\(a=5,\;b=-3\) のとき、次の式の値を求めなさい。

\((1)\quad a-b\)
\((2)\quad 3a+4b\)
\((3)\quad 9ab \times (-7a) \div 3ab\)

解 説
\((1)\quad a=5,\;b=-3\) を式に代入して、 \begin{eqnarray} & &a-b=5-(-3)\\[5px] & &5+3\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{8}}\;…\;\small{答え} \end{eqnarray}

\((2)\quad a=5,\;b=-3\) を式に代入して、 \begin{eqnarray} & &=3 \times 5+4 \times (-3)\\[5px] & &=15+(-12)\\[5px] & &=15-12\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{3}}\;…\;\small{答え} \end{eqnarray}

\((3)\) 数値を代入する前に、式を簡単にします \begin{eqnarray} & &=9ab \times (-7a) \times \boldsymbol{\color{red}{\frac{1}{3ab}}}\\[7px] & &=\frac{9 \times a \times b \times (-7) \times a \times 1}{3 \times a \times b}\\[7px] & &=\frac{9 \times (-7) \times 1 \times a \times a \times b}{3 \times a \times b}\\[7px] & &=\frac{\color{red}{3} \times (-7) \times 1 \times \color{red}{1} \times a \times \color{red}{1}}{\color{red}{1 \times 1 \times 1}}\\[7px] & &=3 \times (-7) \times a\\[5px] & &=\boldsymbol{-21a}\\[12px] & &a=5\;\small{を式に代入して、}\\[5px] & &-21 \times 5=\boldsymbol{\color{blue}{-105}}\;…\;\small{答え} \end{eqnarray}

文字式を簡単にする前の式に、それぞれ数値を代入して答えを確認してください。 \begin{eqnarray} & &9ab \times (-7a) \div 3ab\\[5px] & &=9 \times \color{red}{5} \times (\color{red}{-3}) \times (-7) \times \color{red}{5} \div 3 \times \color{red}{5} \times (\color{red}{-3})\\[5px] & &=\frac{9 \times 5 \times (-3) \times (-7) \times 5}{3 \times 5 \times (-3)}\\[5px] & &=\frac{\color{blue}{3} \times 5 \times \color{blue}{1} \times (-7) \times \color{blue}{1}}{\color{blue}{1 \times 1 \times 1}}\\[5px] & &=3 \times 7 \times (-5) \times 1\\[5px] & &=-(3 \times 7 \times 5 \times 1)\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{-105}} \end{eqnarray}

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