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文字式による説明

文字式による説明とは、数量の関係文字式を使って表すことを言います。最初に、文字を使った数の表し方を知る必要があります。その際、主に英語の頭文字で表します。また、異なる数をいっしょに用いる場合は「\(m,\;n\)」、「\(a,\;b\)」のように複数の種類の文字を使うのが適切です。

文字式に用いられる文字

文字式の問題では、数量に関することばがそれに関連する文字を使って表現されます。

・数量に関する文字
数:\(\boldsymbol{n}\) \(…\;(\color{blue}{n})\)umber
自然数:\(\boldsymbol{n}\) \(…\;(\color{blue}{n})\)atural number
面 積:\(\boldsymbol{S}\) \(…\;(\color{blue}{s})\)pread
体 積:\(\boldsymbol{V}\) \(…\;(\color{blue}{v})\)olume
高 さ:\(\boldsymbol{h}\) \(…\;(\color{blue}{h})\)eight
長 さ:\(\boldsymbol{l}\) \(…\;(\color{blue}{l})\)ength
距 離:\(\boldsymbol{d}\) \(…\;(\color{blue}{d})\)istance
半 径:\(\boldsymbol{r}\) \(…\;(\color{blue}{r})\)adius
時 間:\(\boldsymbol{t}\) \(…\;(\color{blue}{t})\)ime
速 さ:\(\boldsymbol{v}\) \(…\;(\color{blue}{v})\)elocity

文字式による説明

文字式を利用して奇数と偶数を表してみましょう。偶数の定義は、次のようになります。

偶 数 :\(2,\;4,\;6,\;8,\;10\; ...\) のように \(\boldsymbol{2}\) で割り切れる数

よって、偶数は、\(2 \times -1,\;2 \times -2,\;2 \times 3,\;2 \times 5\;…\) のように, 「\(2 \times\) 整数」 で表すことのできる数と言えます。 これを文字式に直す場合、整数を \(\boldsymbol{n}\) として、 \[\boldsymbol{\color{crimson}{2 \times n=2n}}\] 一方、奇数は次のように定義されます。

奇 数 :\(1,\;3,\;5,\;7,\;9\; ...\) のように \(\boldsymbol{2}\) で割り切れない数

たとえば、

\(3\;→\;3 \div 2=1\) あまり \(1\)
\(7\;→\;7 \div 2=3\) あまり \(1\)

奇数は 「\(\boldsymbol{2}\) で割ると \(\boldsymbol{1}\) 余る数」と言いかえることができるので、 \[\mathbf{奇数}\;\boldsymbol{=2 \times}\;\mathbf{商}\;\boldsymbol{+1}\] という関係が成り立ちます。つまり、商を整数 \(n\) で表せば、偶数 \(2n\) を利用して \[\boldsymbol{\color{crimson}{2n+1}}\] と表せます。

ほかにも、\(3\) や \(4\) の倍数などについて、整数 \(n\) を用いて

\(3\) の倍数\(\;…\;\boldsymbol{3n}\)
\(4\) の倍数\(\;…\;\boldsymbol{4n}\)

のように表現します。次の問題を解いてみましょう。

\(2\) つの偶数の和は偶数になる。この理由を文字式を使って説明しなさい

「\(2\) つの偶数」は、それぞれ異なる数であるから、答える際に \(2n,\;2n\) としないように注意してください。 こうすると、同じ数になってしまいます。異なる \(2\) 数を示すには 〈\(m\) と \(n\)〉, 〈\(a\) と \(b\)〉 などのように \(2\) 種類の文字を用いるようにします。

説 明

異なる整数を \(m,\;n\) として、\(2\) つの偶数を \(2m,\;2n\) とすると、偶数の和は \[\boldsymbol{2m+2n}\;――\;1\] 分配法則を利用して

\begin{eqnarray} & &=2 \times (m+n)\\[5px] & &=\boldsymbol{2(m+n)}\;――\;2 \end{eqnarray}

\(m,\;n\) はともに整数であるから、\((m+n)\)も整数になる\(\;――\;3\)
\(1\;\sim\;3\) より、
\(\boldsymbol{2m+2n}\) は偶数である … 説明終わり

説明や証明の問題では、問題文には使われていない文字を解答で用いる場合に、「\(m,\;n\) を整数とする」のように、 その文字が何を表しているのかを最初に明らかにしておく必要があります。

等式の変形:「~について解く」

\(2\) つ以上の文字を含む等式で、その中のある \(1\) つの文字を他の文字で表すことを、 「(その)文字について解く」 といいます。等式を \(1\) つの文字について解く場合、その等式の両辺に同じ数を足したり、掛けたりすることで式を変形します。 次の式を(   )内の文字について解いてみましょう。

\((1)\quad S=\cfrac{1}{2}ah \quad (a)\) \((2)\quad m=\cfrac{a+b+c}{3} \quad (b)\)

\((1)\) 「\(\boldsymbol{a}\) について解く」は、 「\(\color{blue}{a=□}\)」の形で表すことから、式の左辺に \(a\) がくるように式を整理します。

\begin{eqnarray} & &\small{左辺と右辺を入れ替えて、}\\[7px] & &\cfrac{1}{2}ah=S\\[7px] & &\small{乗法記号を明示}\\[7px] & &\frac{1}{2} \times a \times h=S\\[7px] & &a=□\;\small{の形に直す}\\[7px] & &a=S \div \frac{1}{2} \div h\\[7px] & &=S \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{h}\\[7px] & &=\frac{S \times 2 \times 1}{1 \times h}\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{\frac{2S}{h}}}\;…\;答え \end{eqnarray}

\((2)\) 「\(b=□\)」 の形にするため、式の左辺に \(b\) がくるように、式の両辺 を入れかえます。

\begin{eqnarray} & &\small{左辺と右辺を入れ替えて、}\\[7px] & &\cfrac{a+b+c}{3}=m\\[7px] & &\small{乗法記号を明示}\\[7px] & &\cfrac{1}{3} \times (a+b+c)=m\\[7px] & &\small{分数を含まない式に直す}\\[7px] & &\cfrac{1}{3} \times (a+b+c) \times \boldsymbol{\color{red}{3}}=m \times \boldsymbol{\color{red}{3}}\\[7px] & &a+b+c=3m\\[7px] & &b=\boldsymbol{\color{blue}{3m-a-c}}\;…\;答え \end{eqnarray}

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