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文字式による説明

式による説明とは、数量の関係文字式を使って表すことを言います。最初に、文字を使っての数の表し方を知る必要があります。その際、主に英語の頭文字で表します。また、異なる数をいっしょに用いる場合は「m, n」、「a, b」のように複数の種類の文字を使うのが適切です。

文字式に用いられる文字

文字式の問題では、数量に関することばがそれに関連する文字を使って表現されます。
 ・数量に関する文字

数:n ・・・ (n)umber
自然数:n ・・・ (n)atural number
面 積:S ・・・ (s)pread
体 積:V ・・・ (v)olume
高 さ:h ・・・ (h)eight
長 さ:l ・・・ (l)ength
距 離:d ・・・ (d)istance
半 径:r ・・・ (r)adius
時 間:t ・・・ (t)ime
速 さ:v ・・・ (v)elocity

次の問題にチャレンジしよう。

底面の半径が r、高さが h の円柱について、次の問いに
答えなさい。
 問 1  円柱の体積をr,h を用いて表しなさい。
    ただし、円周率は π とする。
 問 2  図のように、円柱の底面の半径を2倍にし、
    高さを半分にしたときの 円柱の体積は、元の
    円柱の体積の何倍になるか答えなさい。

問 1
 円柱の体積:V = 底面積 (=円の面積) × 高さ (h)
 より

= πr2 × h
= πr2h

問 2    
もとの円柱の底面の半径 r が 2倍になる
 → r × 2 = 2r
高さが半分になる
 → h ÷ 2 =h/2

へそれぞれ変化するので、このときの円柱に面積は  
 円柱の体積:V = 底面積 (=円の面積) × 高さ (h)
より、

 = x × 2r × 2r × h/2
  = 2r2xh

 ∴ 元の円柱の体積 πr22倍になる

文字式による説明

文字式を利用して奇数と偶数を表してみましょう。

偶 数
 ―― 2, 4, 6, 8, 10 ... のように 2 で割り切れる数
 2 × -1,  2 × -2,  2 × 3,  2 × 4,  2 × 5 …
のように, 「2 × 整数」 で表すことのできる数と言えます。 これを文字式に直すと、整数を〈n〉として、

2 × n = 2n

奇 数
 ―― 1, 3, 5, 7, 9 ... のように2で割り切れない数
 3 → 3 ÷ 2 = 1 あまり 1 
 9 → 9 ÷ 2 = 4 あまり 1
このように、奇数は 「2で割ると1余る数」と言いかえることができるので、

奇数 = 2 × 商 + 1

という関係が成り立ちます。 つまり、商を整数 n で表せば、先の偶数 [2n] を利用して

2n + 1

ほかにも、3 や 4 の倍数などについて、整数 n を用いて

3 の倍数 ・・・ 3n
4 の倍数 ・・・ 4n

のように表現します。 次の問題を解いてみましょう。

例 題
 2つの偶数の和は偶数になる。この理由を文字式
 を使って説明しなさい

問題文に書かれている「2つの偶数」はそれぞれ異なる数であるから、答える際に 2n, 2n としない ように注意してください。これではまったく同じ数を表しますから、異なる 2つの数を示すには 〈m と n〉 , 〈a と b〉 などのように2種類の文字を用いるようにします。

説 明
 異なる整数を m, n として、2つの偶数を 2m, 2n とすると、偶数の和は

2m + 2n ―― ①
 分配法則を利用して
 = 2 × (m + n) ―― ②
= 2(m + n)

m, n はともに整数であるから、(m + n) も整数になる ―― ③
 偶数は、「2 × 整数」 の形の数なので ① ~ ③ より、
  2m + 2n は偶数である ・・・ 説明終わり

説明や証明の問題では、問題文には使われていない文字を解答で用いる場合に、「m,nを整数とする」のように、 その文字が何を表しているのかを最初に明らかにしておく必要があります。


等式の変形:「~について解く」

2つ以上の文字を含む等式で、その中のある1つの文字を他の文字で表すことを、「(その)文字について解く」 といいます。等式を1つの文字について解く場合、その等式の両辺に同じ数を足したり、掛けたりすることで式を変形します。 たとえば、次の式を(   )内の文字について解いてみましょう。

(1) 「a について解く」は、「a = 」の形で表すことから、式の左辺に a がくるように式を整理します。

(2) 「b = 」 の形で表すため、式の左辺に b がくるように、式の両辺 を入れかえます。

 この場合、分数を含まない式にするため式の両辺を3倍すると計算がしやすくなります。

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