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式の計算「重要問題」

式による説明や等式に変形についての重要問題を取り上げます。数量関係の式への表し方の問題は入試必修ですから、しっかり覚えましょう。

式による説明



 連続する整数:
 「3つの連続する偶数の和は6の倍数である」
  ことを説明しなさい。
説明の手順:
① 数量関係を文字式で表す
② ①を計算する
③ 結論を示す

①:3つの連続する整数を表す
 ―― 整数を n とする
偶数は「2で割れる数」のことですから、連続する
3つの偶数は

2n, 2n + 2, 2n + 4

②:①を計算する
 ―― このとき、分配法則の逆を行う

2n + (2n + 2) + (2n + 4)
 = 6n + 6
 = 6(n + 1)

* 6n + 6 → 6(n + 1) を分配法則の逆といいます

③:結論を示す
 ―― ②の計算の結果より、「6の倍数」であることを説明
 n は整数なので、 (n + 1) も整数になるから、

6(n + 1)
 = 6 × 整数
より、
6 の倍数になる。

これにより、3つの連続する偶数の和は 6 の倍数となる

 3ケタの整数:
1ケタの自然数 a, b, c がある。この3つの数を [a b c] と並べると、 百の位が a, 十の位が b, 一の位が c の 3ケタの整数を表すものとする。 今、[a b c], [b, c, a], [c a b] の3つの3ケタの整数をつくり、 3つの整数の和が 1887 になるとき、 a + b + c の値を答えなさい。

①:3ケタの整数を表す
 ―― a, b, c を用いて3種類の3ケタの数を表す
 [a b c] : 百の位が a, 十の位が b, 一の位が c の整数は

 = 100a + 10b + c
同じようにして、
[b c a]
 = 100b + 10c + a
[c a b]
 = 100c + 10a + b

②:①を計算する
 ―― 分配法則の逆を行う

[a b c] + [b c a] + [c a b]
 = (100a + 10b + c)
  + (100b + 10c + a)
 + (100c + 10a + b)
 = 1887
(100 + 10 + 1)a
 + (100 + 10 + 1)b
 + (100 + 10 + 1)c
 =1887
111(a + b + c)
 = 1887
(a + b + c)
 = 1887 ÷ 111
 = 17

∴ a + b + c = 17

等式の変形


 入試問題 3:
次の式を( )内の文字について解きなさい。ただし、
どの文字も 0 でないものとする。
 S = 1/3(a + b + c)m (b)

〇〇 について解く」とは、 [〇〇 = ] の形に式を直すことを言います。方程式を解くのと同じように「〇〇」を左辺に、その他を右辺に移項して最後に「〇〇」についた係数で両辺を割ります。
複雑な式では、一度に [〇〇 = ] の形に持って行かずにひとつずつ行うと間違いがなくなります。

S = 1/3(a + b + c)m
S = m/3(a + b + c)
 * 左辺と右辺を入れ替える
m/3(a + b + c) = S
 * 両辺に 3/m を掛ける
(a + b + c) = S × 3/m
 * b = の式にまとめる
b = 3S/m - a - c

式の代入


 入試問題4: 
 A = 6x2 + 3xy + y2,
 B = x2 - 2xy - y2,
 C = x2 - 4xy - 3y2 のとき、次の式を x, y で表しなさい。

A, B, C の多項式に式を代入して、x, y の文字で表す問題です。解答のコツは、はじめに A, B, C についての文字式を簡単に整理してから式を代入します。



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