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重要問題

入試によく出る、式による説明や等式に変形についての重要問題を取り上げます。

式による説明

問 題
\(3\) つの連続する偶数の和は \(6\) の倍数であることを説明しなさい。

説明の手順:
\(\small{①}\) 数量関係を文字式で表す
\(\small{②}\) \(\small{①}\) を計算する
\(\small{③}\) 結論を示す

解 説
\(\small{①}\):\(3\) つの連続する偶数を表す

整数を \(n\) とすると、
偶数は「\(2\) で割れる数」ですから、連続する \(3\) つの偶数は \[\boldsymbol{2n,\;2n+2,\;2n+4}\]

\(\small{②}\):\(\small{①}\) を計算する

分配法則の逆を行い、 \begin{eqnarray} & &2n+(2n+2)+(2n+4)\\[5px] & &=6n+6\\[5px] & &=\boldsymbol{6(n+1)} \end{eqnarray} \(*6n+6\;→\;6(n+1)\) を分配法則の逆といいます

\(\small{③}\):結論を示す

\(\small{②}\) の計算の結果より、「\(6\) の倍数」であることを説明します
\(n\) は整数なので、\((n+1)\) も整数になるから、 \begin{eqnarray} & &6(n+1)\\[5px] & &=6 \times 整数\\[5px] & &\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{6} \small{\mathbf{の倍数}} \end{eqnarray} になる … 説明終わり

問 題
\(1\) ケタの自然数 \(a,\;b,\;c\) がある。この \(3\) つの数を \([a\hspace{5px}b\hspace{5px}c]\) と並べると、百の位が \(a,\) 十の位が \(b,\) 一の位が \(c\) の \(3\) ケタの整数を表すものとする。 今、\([a\hspace{7px}b\hspace{7px}c],\;[b\hspace{7px}c\hspace{7px}a],\;[c\hspace{7px}a\hspace{7px}b]\) の \(3\) つの \(3\) ケタの整数をつくり、\(3\) つの整数の和が \(1887\) になるとき、 \(a+b+c\) の値を答えなさい。

解 説
\(\small{①}\) :\(3\) ケタの整数を表す \(a,\;b,\;c\) を用いて\(\boldsymbol{3}\) 種類の \(\boldsymbol{3}\) ケタの数を表します

\(\boldsymbol{[a\hspace{7px}b\hspace{7px}c]}\) において、百の位が \(a,\) 十の位が \(b,\) 一の位が \(c\) の整数は \begin{eqnarray} & &=\boldsymbol{100a+10b+c}\\[7px] & &\small{同じようにして、}\\ & &\boldsymbol{[b\hspace{7px}c\hspace{7px}a]}\\ & &=\boldsymbol{100b+10c+a}\\[7px] & &\boldsymbol{[c\hspace{7px}a\hspace{7px}b]}\\ & &=\boldsymbol{100c+10a+b} \end{eqnarray}

\(\small{②}\):\(\small{①}\) を計算する \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{[a\hspace{5px}b\hspace{5px}c]\color{crimson}{+[b\hspace{5px}c\hspace{5px}a]+[c\hspace{5px}a\hspace{5px}b]}}\\[5px] & &=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)\\ & &\hspace{10px}+(100c+10a+b)\\ & &=1887\\[7px] & &(100+10+1)a+(100+10+1)b\\ & &\hspace{10px}+(100+10+1)c=1887\\[7px] & &111(a+b+c)=1887\\[7px] & &(a+b+c)=1887 \div 111\\ & &(a+b+c)=17\\[7px] & &\boldsymbol{∴\quad a+b+c=17} \end{eqnarray}

等式の変形

問 題
次の式を(   )内の文字について解きなさい。ただし、どの文字も \(0\) でないものとする。 \[\boldsymbol{S=\cfrac{1}{3}(a+b+c)m\hspace{10px}(b)}\]

解 説
〇〇 について解く」とは、 [〇〇\(=\)] の形に式を直すことを言います。 方程式を解くのと同じように「〇〇」を左辺に、その他を右辺に移項して最後に「〇〇」についた係数で両辺を割ります。

\begin{eqnarray} & &S=\frac{1}{3}(a+b+c)m\\[7px] & &\hspace{7px}=\frac{m}{3}(a+b+c)\\[7px] & &\small{左辺と右辺を入れ替える}\\[7px] & &\frac{m}{3}(a+b+c)=S\\[7px] & &\small{両辺に\;\frac{3}{m}\;を掛ける}\\[7px] & &(a+b+c)=S \times \frac{3}{m}\\[7px] & &\small{式を\;b\;について解く}\\[7px] & &\boldsymbol{\color{blue}{b=\cfrac{3S}{m}-a-c}}\;…\;答え \end{eqnarray}

式の代入

\(A=6x^2+3xy+y^2,\) \(B=x^2-2xy-y^2,\) \(C=x^2-4xy-3y^2\)

のとき、次の式を \(x,\;y\) で表しなさい。 \[\boldsymbol{2A-B-\cfrac{6A-(3B+C)}{4}}\]

\(A,\;B,\;C\) の多項式に式を代入して、\(x,\;y\) の文字で表す問題です。解答のコツは、はじめに \(A,\;B,\;C\) についての文字式を簡単に整理してから式を代入します。

\begin{eqnarray} & &=\frac{4(2A-B)-6A+3B+C}{4}\\[7px] & &=\frac{8A-4B-6A+3B+C}{4}\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{crimson}{\frac{2A-B+C}{4}}} \end{eqnarray}

整理した式の \(A,\;B,\;C\) に \(x,\;y\) の式を代入して、

\begin{eqnarray} & &\frac{2(6x^2+3xy+y^2)}{4}-\frac{(x^2-xy-y^2)}{4}\\[7px] & &\hspace{7px}+\frac{(x^2-4xy-3y^2)}{4}\\[7px] & &=\frac{12x^2+6xy+2y^2}{4}-\frac{x^2+xy+y^2}{4}\\[7px] & &\hspace{7px}+\frac{x^2-4xy-3y^2}{4}\\[7px] & &\small{同類項ごとに計算する}\\[7px] & &=\frac{(12-1+1)x^2}{4}+\frac{(6+2-4)xy}{4}\\[7px] & &\hspace{7px}+\frac{(2+1-3)y^2}{4}\\[7px] & &=\frac{12x^2+4xy}{4}\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{3x^2+xy}}\;…\;答え \end{eqnarray}

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