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解き方 \(\boldsymbol{4}\)：因数分解
\(A\;\times\;B=0\) のように、\(2\) 数の積が \(0\) になるのは \(A,\;B\) のどちらかが \(0\) の場合だけです。この考え方を使った \(2\) 次方程式の解き方に、因数分解があります。
| \(\boldsymbol{1)}\) |
\(\boldsymbol{4x=0}\;:\;4\) と \(x\) の積が \(0\) なので \(x=0\) となります |
| \(\boldsymbol{2)}\) |
\(\boldsymbol{x(x-4)=0}\;:\;x\) と \((x-4)\) の積が \(0\) なので、\(x=0\) または、\(x-4=0\) |
|
∴ \(\boldsymbol{x=0, \quad x=4}\) |
| \(\boldsymbol{3)}\) |
\(\boldsymbol{(x+5)(x-2)=0}\;:\;(x+5)\) と \((x-2)\) の積が \(0\) なので、\((x+5)=0,\) または \((x-2)=0\) |
|
∴ \(\boldsymbol{x=-5, \quad x=2}\) |
\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0 \quad (a \gt 0)\) が \(2),\;3)\) のように、左辺が因数分解された形になり、右辺が \(0\) になる場合、この \(2\) 次方程式を解くことができます。
\[x^2+4x-45=0\]
を解く場合、左辺を因数分解できるかどうか考えます。
定数項 \(-45\) において、掛けて \(\boldsymbol{\color{blue}{-45}}\) になる \(\boldsymbol{2}\) 数の組み合わせを探します
| \((1,\hspace{8px}-45),\hspace{4px}(-1,\hspace{8px}45),\hspace{4px}(3,\hspace{8px}-15),\) |
| \((-3,\hspace{8px}15),\hspace{4px}(5,\hspace{8px}-9),\hspace{4px}\color{crimson}{(-5,\hspace{8px}9)}\) |
同じく、足して \(\boldsymbol{\color{blue}{4}}\) になる場合の \(\boldsymbol{2}\) 数の組み合わせを探します
| \(\color{crimson}{(-5,\hspace{8px}9)}\) |
よって、
\[\boldsymbol{\color{blue}{(x-5)(x+9)=0}}\]
カッコ内は \(0\) になる
\begin{eqnarray}
& &x-5=0\\[9px]
& &x=0+5\\
& &\hspace{14px}=5\\[9px]
& &x+9=0\\
& &x=0-9\\
& &\hspace{14px}=-9\\[9px]
& &\boldsymbol{∴ x=5,\quad x=-9}
\end{eqnarray}
\(2\) 次方程式の右辺が \(0\) になっていない場合は、式を整理して右辺を \(0\) にしてから因数分解をします。
因数分解での解き方
| ・ |
\(\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}\) において、 |
| ・ |
掛けて \(\boldsymbol{c},\) 足して \(\boldsymbol{b}\) になる組み合わせ \(\boldsymbol{m,\;n}\) がある |
| ・ |
\(\boldsymbol{(x+m)(x+n)=0}\) の形にする |
| ・ |
\(→\) \(\boldsymbol{x=m,\quad x=n}\) |
例 題
\(2x^2+12x+18=0\) を解きなさい。
解 説
左辺を因数分解します
\begin{eqnarray}
& &2(x^2+6x+9)=0\\[5px]
& &\boldsymbol{2(x+3)^2=0}\;――\;1
\end{eqnarray}
次に、式の両辺を \(2\) で割って左辺についている係数 \(2\) を消去します。
\begin{eqnarray}
& &2(x+3)^2 \div 2=0 \div 2\\[5px]
& &(x+3)^2=0\\[5px]
& &=\boldsymbol{(x+3)(x+3)=0}\;――\;2
\end{eqnarray}
よって、この方程式が \(0\) になるには
\(x+3=0\) か \(x+3=0\) のときであり、\(x\) の値は \(x=-3\) か \(x=-3\) となりますが、どちらも同じ値なので方程式の解は \(x=-3\) だけで表します。
\[\boldsymbol{∴\quad x=-3}\]
\(2\) 次方程式は文字が \(2\) つあるので解も \(2\) つになりますが、このように方程式の解が同じ場合、 \(2\) つがだぶっていると考え、
これを重解（じゅうかい）といいます。
解き方 \(\boldsymbol{5}\)：解の公式
\(2\)次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を直接 \(x\) について解いた文字式を、解の公式といいます。
今までの解き方のどれも利用できない場合、この公式を使えば、与えられた\(2\) 次方程式の数値を代入するだけで方程式の解を求めることができます。
\(\boldsymbol{2}\) 次方程式 \(\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}\) を解く
\begin{eqnarray}
& &\small{式の両辺を}\;\small{\boldsymbol{a}}\;\small{で割る}\\[7px]
& &→\;x^2\;\small{の係数を}\;\small{1}\;\small{にする}\\[12px]
& &ax^2\times\frac{1}{a}+bx\times\frac{1}{a}+c \times\frac{1}{a}=0\times\frac{1}{a}\\[7px]
& &x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\[12px]
& &\small{定数項を右辺に移項して}\\[7px]
& &x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
\end{eqnarray}
左辺を多項式の \(\boldsymbol{2}\) 乗の形に因数分解できるように式の両辺に \(\boldsymbol{x}\) の係数の半分
の \(\boldsymbol{2}\) 乗を加える
\begin{eqnarray}
& &x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\[7px]
& &=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
\end{eqnarray}
平方完成による \(\boldsymbol{2}\) 次方程式の解き方で \(\boldsymbol{x}\) の値を導き出す
\begin{eqnarray}
& &→\\[7px]
& &\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\[7px]
& &=-\frac{c\times4a}{a\times4a}+\frac{b^2}{4a^2}\\[7px]
& &=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\[7px]
& &=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[12px]
& &x+\frac{b}{2a}=±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[7px]
& &=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\\[7px]
& &=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[12px]
& &x=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}\\[7px]
& &=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{eqnarray}
これを、
\(x\) についての \(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0 \quad (a ≠ 0)\) の解の公式として利用します。
\(\boldsymbol{2}\) 次方程式の解の公式
\[\boldsymbol{\large{\color{blue}{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}}\]
例 題
\(2\) 次方程式 \(x^2-6x-18=0\) を解きなさい。
解 説
解の公式に数値を代入します
\begin{eqnarray}
& &x=\frac{\boldsymbol{\color{blue}{-6}}±\sqrt{\boldsymbol{\color{blue}{(-6)^2}}-4\times\boldsymbol{\color{blue}{1}}\times(-18)}}{2\times\boldsymbol{\color{blue}{1}}}\\[7px]
& &=\frac{-6±\sqrt{36+72}}{2}\\[7px]
& &=\frac{-6±\sqrt{108}}{2}\\[7px]
& &=\frac{-6±\sqrt{108}}{2}\\[7px]
& &=\frac{-6±\sqrt{36\times3}}{2}\\[7px]
& &=\frac{-6±6\sqrt{3}}{2}\\[7px]
& &=\boldsymbol{-3±3\sqrt{3}}\;...\;答え
\end{eqnarray}
