直交する \(\boldsymbol{2}\) 直線の性質
図において、点 \(A,\;B\) の座標をそれぞれ \(A\;(0,\hspace{8px}6),\;B\;(11,\hspace{8px}3)\) とし、点 \(C\) を \(x\) 軸上に置き、\(2\) 直線がつくる \(∠ACB\) が \(90^{\circ}\) になるようにする。
このとき、点 \(C\) の \(x\) 座標を答えなさい。ただし、線分 \(AC\) \(\lt\) 線分 \(BC\) とする。
この問題を解くには、\(2\) 本の \(1\) 次関数 (直線) が直交するとき、傾きの積が \(-1\) になるという性質を利用しますが、
まず、これを証明します。
| \(\boldsymbol{2}\) 本の \(\boldsymbol{1}\) 次関数 (直線)が直線になる条件 |
：\(\boldsymbol{mm'=-1}\) |
証明には、下のような図を用いて、三平方の定理、合同、相似 をそれぞれ利用します。
\(\boldsymbol{1)}\) 証明：三平方の定理を利用
図において、
座標 \((1,\hspace{10px}m)\) を \(A,\hspace{10px}\) 座標 \((1,\hspace{10px}m')\) を \(B,\)
座標 \(A,\;B\) を結ぶ直線と \(x\) 軸との交点を \(P\) として、
\(3\) つの直角三角形
\(△ABO,\;△AOP,\;△ABP\) について、
三平方の定理より、
\begin{eqnarray}
& &OA^2+OB^2=AB^2\;――\;1\\
& &OA^2=OP^2+AP^2\\
& &OB^2=OP^2+BP^2\\
& &AB^2=(AP+BP)^2\;――\;2\\[12px]
& &\small{よって、}\\
& &(OP^2+AP^2)+(OP^2+BP^2)=(AP+BP)^2\\[12px]
& &\small{また、}\\
& &\small{線分}\;\normalsize{AB=m-m'\;――\;3}
\end{eqnarray}
これにより、\(1\) は次の式で表すことができます
\[\boldsymbol{(1^2+m^2)+(1^2+m'^2)=(m-m')^2}\]
これを整理して、
\begin{eqnarray}
& &1+m^2+1+m'2=m^2-2mm'+m'^2\\
& &2+m^2+m'^2=m^2-2mm'+m'^2\\
& &m^2+m'^2-m^2+2mm'-m'^2=-2\\
& &2mm'=-2\\
& &\boldsymbol{\color{blue}{mm'=-1}}
\end{eqnarray}
| ∴ |
\(2\) 直線が直交するとき、傾きの積は \(-1\) になる … 証明終わり |
\(\boldsymbol{2)}\) 証明：合同を利用
図のように、直線 \(y=mx\) 上に点 \(A\) を置き、その座標を \((1,\hspace{10px}m)\) とし、直線 \(y=m'x\) 上に点 \(B\) を置き、その \(x\) 座標を \(m\) とします。
点 \(A\) と \(x\) 軸との交点を \(H,\) 点 \(B\) と \(x\) 軸との交点を \(H'\) とすると、\(2\) つの直角三角形 \(AOH\) と \(OBH'\) ができます。
\(△AOH\) と \(△OBH'\) において、
\begin{eqnarray}
& &∠AOH+∠BOH'=90^{\circ}\;――\;1\\[12px]
& &△AOH \small{において、}\\
& &∠OAH=90-∠AOH\\[12px]
& &\small{よって、}\small{1}\;\small{より、}\\
& &∠OAH=∠BOH'――2\\[12px]
& &\small{仮定より、}\\
& &AH=OH'=m\;――\;3\\[12px]
& &\small{これにより、}\\
& &△AOH ≡ △OBH'
\end{eqnarray}
合同な \(2\) つの三角形のすべての辺は等しいので
\[\boldsymbol{OH=BH'=1}\]
となり、点 \(B\) の座標は
\[(m,\hspace{10px}-1)\]
よって、直線 \(y=m'x\) の傾きは、
\begin{eqnarray}
& &m'=\frac{-1-0}{m-0}\\
& &\hspace{25px}=\frac{-1}{m}\\
& &\boldsymbol{∴\quad mm'=-1}
\end{eqnarray}
| ∴ |
\(2\) 直線が直交するとき、傾きの積は \(-1\) になる … 証明終わり |
\(\boldsymbol{3)}\) 証明：相似を利用
図のような \(2\) つの直角三角形 \(AOP,\;OBP\) について考えます
\begin{eqnarray}
& &∠AOB=90^{\circ}\\
& &\small{より、}\\
& &△AOP∽△OBP
\end{eqnarray}
が成り立ちます。よって、
\begin{eqnarray}
& &OP:BP=OP:AP\\
& &\small{より、}\\
& &1:(-m')=m:1\\
& &-mm'=1\\
& &\boldsymbol{mm'=-1}
\end{eqnarray}
| ∴ |
\(2\) 直線が直交するとき、傾きの積は \(-1\) になる … 証明終わり |
解 説
点\(C\) の \(x\) 座標を \(p\) とします。直線の傾きは変化の割合に等しいので
| 直線 \(BC\) の傾き \(=(3-0) \div (11-p)\;――\;1\) |
| 直線 \(AC\) の傾き \(=(0-6) \div (p-0)\;――\;2\) |
仮定より、
\[∠BCA=90°\]
から、\(2\) 直線は直交するので
\begin{eqnarray}
& &\left(\frac{3}{11-p}\right)\times-\left(\frac{6}{p}\right)=-1\\[7px]
& &\left(\frac{18}{p(11-p)}\right)=-1\\[7px]
& &-\frac{-18}{p(11-p)}=-1\\[7px]
& &-18=-p(11-p)\\[7px]
& &-18=-11p+p^2\\[7px]
& &p^2-11p+18=0\\[7px]
& &(p-2)(p-9)=0\\[7px]
& &\small{よって、}\\[7px]
& &\boldsymbol{p=2,\hspace{4px}9}
\end{eqnarray}
仮定より、 線分 \(AC\;\lt\) 線分 \(BC\) なので、\(p=9\) は不適切
| ∴ 答 え 点 \(\boldsymbol{C}\) の \(\boldsymbol{x}\) 座標は \(\boldsymbol{3}\) |
