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2乗に比例する関数

2つの変数 x,y があり、x の値に応じて y の値が1つに決まるとき、「y は x の関数」といい、y が x の1次式で表す1次関数つについて学習しました。これに対して、y が x の2次式で表す場合、そのような関数を2次関数といいます。そのうち、「y が x の2乗に比例する関数」 y = ax2 の形のものについて学習します。

 
2次関数 (y = ax2) 主な学習のポイント
・2乗に比例することの意味を理解する
・関数 y = ax2のグラフの特徴を学習する
・関数 y = ax2 を使った応用問題をマスターする
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2乗に比例する関数のグラフ


ア y = 2x
イ y = 3x - 5
ウ xy = 6 (y = 6/x)
エ y = -3x2

ア、イ のように y が x の 1次式で表すことのできるものが1次関数で、そのうち ア のような形になるものを比例、 の形になるものを反比例といいます。一方、のように y が x の2次式で表すものを2次関数といい、特にこのような形を「x の2乗に比例する関数」といいます。

比例や反比例で学習したように、「a」は比例定数で、 y が x の2乗に比例するので上のような形で表します。
y = 4x2 について、対応表をつくってみましょう。

2つの変数が比例の関係にある場合は、一方を 2倍、3倍、4倍 … すると、もう一方も 2倍、3倍、4倍 … になることを学習しましたが、2乗に比例する関数では、
 x2 の値が 1 → 4,   1 → 9
のように 4倍、9倍に変化すると、
 y の値も 4 → 16,  4 → 36
のように、4倍、9倍に変化します。

x2 の値が n倍に変化すると、 y の値も n倍に変化する

ことから、 y が x の2乗に比例していると言えます。


2次関数(y = ax2)のグラフ

y が x の2乗に比例する関数のグラフをかくには
 ① 変数 x, y の対応表を完成させる
 ② ①の対応表をもとに、対応する各点(x, y)を
   グラフ用紙に書き入れる
 ③ ②の各点をなめらかに結ぶ

という手順で行います。

y = 1/2x2  のグラフをかく
① 2つの変数 x, y の対応表を完成させる
 2乗に比例する関数のグラフは直線ではないので、できるだけたくさんの点をとるようにすればよりなめらかな曲線が描けます。


② 対応表をもとに、対応する各点(x, y)をグラフ
  用紙に書き入れる


③ ②の各点をなめらかに結ぶ

出来上がったグラフは、ボールなどの物体を地表で投げたときの物体が描く軌跡(放物運動)に似ていることから、この曲線  を放物線(ほうぶつせん)といいます。


・放物線の性質

y = -1/2x2 のグラフをかく

① 対応表を完成させる

② ① をもとに、各点(x, y)をグラフ
  用紙に書き入れる

③ ②の各点をなめらかに結ぶ

2つの関数について見てきたが、描かれる放物線には次のような性質があります。
 ・必ず原点Oを通り、その原点が頂点になる
 ・y軸について対称(線対称)である
 ・a > 0 のときには上向き、 a < 0 のときには
  下向きのグラフになる
 ・a の絶対値が小さければそれだけグラフの開きが
  大きくなる
 ・y = ax2 のグラフと y = -ax2 のグラフは x軸
  について対称である

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