高校入試[英語・数学]| 放物線と図形の面積

放物線と図形の面積

放物線 \((y=ax^2)\) と直線（\(1\) 次関数）によってできる図形の面積に関する問題は、毎年入試に出題されています。これらには似たような問題（類題）がたくさんあるので、各種問題集を通じて解き方をマスターしましょう。

放物線と三角形

問　題：

図のように、関数 \(y=-\cfrac{1}{2}x^2\)　のグラフ上に \(2\) 点\(A,\;B\) があり、関数 \(y=ax2\quad(a \gt 0)\) のグラフ上に点 \(C\) がある。点 \(A\) の \(x\) 座標は \(-4\) で、\(B\) と \(C\) の \(x\) 座標はどちらも \(2\) である。 \(△ABC\) の面積が \(42\;cm^2\)であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

解　説：

\(3\) 点を結び、\(\boldsymbol{BC}\) を底辺とする三角形 \(ABC\) をつくります

\(△ABC\) において、 \begin{eqnarray} & &底辺を\;BC,\;高さを\;AH\\ & &とすると、\\[5px] & &△ABC\;の面積\\[7px] & &\hspace{7px}=\frac{1}{2} \times BC \times AH\;――\;1 \end{eqnarray}

三角形の各頂点の座標は、それぞれ、 \[A\;(-4,\hspace{9px}-8),\hspace{5px}H\;(2,\hspace{9px}-8),\hspace{5px}B\;(2,\hspace{9px}4a)\;――\;2\]

三角形の面積は \(42\;cm^2\) なので、\(1\) より、 \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}\times (4a+2)\times 6=42\\[7px] & &(4a+2)\times \frac{6}{2}=4\\[7px] & &(4a+2)\times 3=42\\[7px] & &12a+6=42\\[7px] & &12a=36\\[7px] & &\boldsymbol{\color{blue}{a=3}}\;…\;答え \end{eqnarray}

図形の面積を \(\boldsymbol{2}\) 等分する直線の式

問　題

図のように、放物線　\(y=\cfrac{1}{2}x^2\) 上に \(2\) 点 \(A,\;B\) をとり、同じく、放物線　\(y=-\cfrac{1}{4}x^2\) 上に \(2\) 点 \(C,\;D\)をとる。このとき、線分 \(AB,\;CD\) は \(x\) 軸に平行で、線分 \(AC,\;BD\) は \(y\) 軸に平行である。点 \(A\) の \(x\) 座標を \(4\) とするとき、点 \((1,\hspace{9px}6)\) を通り、四角形 \(ACDB\) の面積を \(2\) 等分する直線の式を求めなさい。

解　説：

仮定より、放物線の四角形 \(ACDB\) は長方形であり、放物線上にあるこの長方形は、放物線の性質より、\(\boldsymbol{y}\) 軸に対して線対称になります。よって、\(2\) 点 \(A,\;C\) を結ぶ対角線 \(AC\) と \(y\) 軸との交点は長方形 \(ACDB\) の中点に当たるので、長方形はこの中点を通るすべての直線によって \(2\) 等分されると考えます。

すなわち、図において、長方形 \(ACDB\) の中点 \(H,\) と座標 \((1,\hspace{10px}6)\) の点 \(P\) とを結ぶ直線の式を求めます。点 \(A\) の \(x\) 座標は \(4\) だから四角形 \(ACDB\) の各頂点の座標は \[A\;(4,\hspace{10px}8),\hspace{5px}B\;(-4,\hspace{9px}8),\hspace{5px}D\;(4,\hspace{10px}4),\hspace{5px}C\;(-4,\hspace{8px}-4)\]

\begin{eqnarray} & &\small{中点}\;\small{H}\;\small{の座標は}\\[5px] & &8-(-4)=8+4\\ & &=12\\[9px] & &12 \div 2=6\\ & &8-6=\boldsymbol{2}\\ & &\small{より、}\\ & &\boldsymbol{\color{crimson}{H\;(0,\hspace{10px}2)}}\\[9px] & &\small{よって、}\normalsize{PH}\;\small{を結ぶ直線の式は、}\\ & &y=ax+b\;\small{において、}\\[5px] & &x=1\;\small{のとき}\\ & &6=a+b\\[12px] & &x=0\;\small{のとき}\\ & &2=b\\ & &6=a+2\\ & &a=6-2\\ & &=\boldsymbol{4}\\[12px] & &\boldsymbol{∴\quad \color{blue}{y=4x+2}}\;…\;答え \end{eqnarray}

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