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重要問題

放物線と直線を用いた問題では、線分比等積変形を利用して直線の式や面積を求めるものも多く出題されます。線分比では「比例式の性質」、等積変形では「平行線の性質」が解答のカギとなります。

比例式の性質

問 題
図において、放物線 は \(y=\cfrac{1}{2}x^2\) のグラフである。点 \(A\;(0,\hspace{10px}6)\) を通る右下がりの直線が放物線に交わる \(2\) 点のうち \(x\) 座標が負である点を \(P\) とし、直線と \(x\) 軸との交点を \(Q\) とする。\(PA:AQ=2:3\)となるとき、点 \(P\) の座標を求めなさい。

解 説:

比例式の性質を利用します。

点 \(\boldsymbol{P}\) より \(\boldsymbol{x}\) 軸に垂線 \(\boldsymbol{PH}\) をとる ―― 1

直角三角形 \(\boldsymbol{QAO}\) と \(\boldsymbol{QPH}\) において、 \begin{eqnarray} & &PA:AQ=2:3\\[5px] & &\small{より、}\\[5px] & &QA:QP=3:(3+2)\\[5px] & &=\boldsymbol{3:5} \end{eqnarray}

比例式の性質 「内項の積は外項の積に等しい」 より、 \begin{eqnarray} & &AO:PH=3:5\\[5px] & &\small{となり}\\ & &6:PH=3:5\\ & &3PH=30\\ & &\boldsymbol{PH=10} \end{eqnarray}

したがって、

点 \(\boldsymbol{P}\) の \(\boldsymbol{y}\) 座標は \(\boldsymbol{10}\) ―― 2

放物線の式は \(y=\cfrac{1}{2}x^2\) より、 \begin{eqnarray} & &\frac{1}{2}x^2=10\\[7px] & &x^2=20\\[7px] & &\boldsymbol{x=±2\sqrt{5}} \end{eqnarray}

問題の条件は、点 \(P\) の \(x\) 座標が負の値であることから、\(+2\sqrt{5}\) は不適切

∴ 点 \(\boldsymbol{P}\) の座標 \(\boldsymbol{(\color{blue}{-2\sqrt{5},\hspace{9px}10})}\)  … 答え

等積変形

問 題
図のように、関数 \(y=ax^2\) のグラフ上に \(2\) 点 \(A\;(2,\hspace{10px}3),\) \(B\;(-4,\hspace{9px}12)\) がある。原点を \(O\) として、関数 \(y=ax^2\) のグラフ上に点 \(P\) をとり、点 \(P\) と原点 \(O\) を結ぶ直線 \(OP\) が直線 \(AB\) と平行になるようにする。このとき、\(△ABP\) の面積を求めなさい。

解 説:
解答は、放物線の比例定数 \(a\) を求め、次に、直線 \(AB\) の式を求める手順で行います。

点 \(A\;(2,\hspace{10px}3)\) が \(y=ax^2\) 上にあるので \begin{eqnarray} & &a\times(2)^2=3\\[7px] & &4a = 3\\[7px] & &\hspace{4px}a=\frac{3}{4}\\[12px] & &\small{}よって、放物線の式は、\\ & &\boldsymbol{y=\frac{3}{4}x^2}\\ & &2\;\small{点}\;\normalsize{A,\;B}\;\small{の座標より、}\\[5px] & &y=ax+b\;\small{において、}\\ & &x=-4\;\small{のとき}\\ & &y=12\\ & &\small{より}\\ & &-4a+b=12\;――\;\small{ア}\\[12px] & &x=2 \small{のとき}\\ & &y=3\\ & &\small{より}\\ & &2a+b=3\;――\;\small{イ}\\[12px] & &\small{ア\;-\;イ\;より}\;\normalsize{b}\;\small{を消去して、}\\ & &-6a=9\\[7px] & &a=-\frac{9}{6}\\[7px] & &=\boldsymbol{}-\frac{3}{2}\\[12px] & &\small{これを\;イ\;の式に代入して、}\\ & &2\times(-\frac{3}{2})+b=3\\[7px] & &-3+b=3\\[7px] & &b=6 \end{eqnarray} よって、直線 \(AB\) の式は \[\boldsymbol{y=-\cfrac{3}{2}x+6}\]

放物線上に点 \(P\) と直線 \(AB\) と平行な直線 \(OP\) をとります
\(△ABP\) と \(△ABO\) において、
\(AB\) を共通の底辺とすれば \(AB\;/\!/\;OP\) より、\(2\) つの三角形の高さが等しくなるので面積も 等しくなります。よって、\(△ABO\) の面積がわかれば \(△ABP\) の面積もわかります。 \[\boldsymbol{△ABO}\;の面積 \boldsymbol{=\;(△ACO}\;の面積\;\boldsymbol{)+(△BCO}\;の面積\;\boldsymbol{)}\] より、 \begin{eqnarray} & &△ACO\;\small{の面積}\\[7px] & &\hspace{4px}=\frac{1}{2} \times CO \times AH'\\[7px] & &\hspace{4px}=\frac{1}{2} \times 6 \times 2\\[7px] & &\hspace{4px}=\frac{1}{2} \times 12=6\\[15px] & &△BCO\;\small{の面積}\\[7px] & &\hspace{4px}=\frac{1}{2} \times OC \times BH\\[7px] & &\hspace{4px}=\frac{1}{2} \times 6 \times 4\\[7px] & &\hspace{4px}=\frac{1}{2} \times 24\\[7px] & &\hspace{4px}=12\\[7px] & &\small{したがって、}\\ & &△ABO\;\small{の面積}\\ & &\hspace{4px}=6 +12\\ & &\hspace{4px}=18\\[15px] & &\boldsymbol{∴\quad △ABP}\;\small{の面積}\;\normalsize{\boldsymbol{\color{blue}{18}}}\;…\;答え \end{eqnarray}

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