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円周角の定理の逆

円周角の定理は、

\(1\) つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分に等しい
\(1\) つの弧に対する円周角はすべて等しい

ですが、円周角の定理の逆の関係を説明するとき、\(1\) つの円の円周上に\(3\) 点 \(A,\;B,\;C\) をとり、\(A\) と \(B\) を結んでできる直線 \(AB\) について、別のもう \(1\) 点 \(C\) と同じ側に点 \(P\) を加えた図をつくります。そのときできる \(∠APB\) と \(∠ACB\) の大きさについて \(3\) つの場合を考えます。

\(\boldsymbol{P}\) が円の内部にある場合

\(∠ACB\) と \(∠APB\) の大きさを確認するため、\(AP\) の延長と円周との交点 \(Q\) をとると、

円周角の定理より、 \[∠ACB=∠AQB=\boldsymbol{x}\;――\;1\] \(∠APB\) は \(△PBQ\) の外角にあたるから、 \begin{eqnarray} & &∠APB=∠AQB+∠PBQ\\ & &\hspace{58px}=x+∠PBQ\;――\;2\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &∠APB \gt ∠AQB\\[7px] & &\small{から、}\\ & &\boldsymbol{∠APB \gt ∠ACB} \end{eqnarray}

点 \(P\) が円の内側にある場合、弧 \(AB\) に対する円周角 \(ACB\) よりも \(\boldsymbol{∠APB}\) は大きくなる

\(\boldsymbol{P}\) が円の外部にある場合

下図のように、\(△APB\) の辺 \(AP\) と円周との交点を \(Q\) とすると、

\(∠AQB\) は弧 \(AB\) の円周角ですから、 \begin{eqnarray} & &∠AQB=∠ACB\\[5px] & &\hspace{58px}=\boldsymbol{x}\;――\;1 \end{eqnarray} また、\(∠AQB\) は \(△QBP\) の外角にあたるので、 \begin{eqnarray} & &∠AQB=∠QPB+∠QBP\\ & &∠QPB=∠AQB-∠QBP\\ & &\hspace{58px}=\boldsymbol{x-∠QBP}\;――\;2\\[7px] & &\small{よって、}\\ & &∠QPB=∠APB\\[7px] & &\small{から、}\\ & &∠APB \lt ∠AQB\\[7px] & &\small{より、}\\ & &\boldsymbol{∠APB \lt ∠ACB} \end{eqnarray}

点 \(P\) が円の外側にある場合、弧 \(AB\) に対する円周角 \(ACB\) よりも \(\boldsymbol{∠APB}\) は小さくなります

\(\boldsymbol{P}\) が円周上にある場合

\(∠APB\) は弧 \(AB\) に対する円周角だから、円周角の定理より、 \[∠APB=∠ACB=\boldsymbol{x}\] つまり、点 \(P\) が点 \(C\) 以外の円周上にある場合、弧 \(AB\) に対する円周角 \(\boldsymbol{ACB}\) と \(\boldsymbol{∠APB}\) は同じ大きさになります。

円周角の定理の逆

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