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平方根

正方形の面積は1辺を2乗して求められますが、正方形の1辺は逆に正方形の面積から求めることになります。この面積に対する1辺を平方根といいます。つまり、b を2乗すると a になるときの b が a の平方根です。

 
平方根 主な学習のポイント
・平方根(ルート)や 根号 について理解する
・有理数 や 無理数 について理解するとともに「数」について整理する
・根号を含む式の計算方法をマスターする 
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

平方根の定義

2乗=平方)すると a になるもとの数を 「aの平方根」 といいます。つまり、平方根は2乗の逆のこと。

・5 の 2乗 → 5 × 5 = 25
・マイナス5 の2乗 → (-5) × (-5) = 25

 ∴ 25 の平方根は +5 と -5 である

このように、絶対値が同じで符号の異なる正の数と負の数の2つが存在することになります。 このとき、+5 と -5 を合わせて ±5「複号」を用いて表し「プラスマイナス5」 と読みます。

(□)2 = 9 が成り立つのは □ が +3 または -3 になるときだから、9 の平方根は ±3 になります。


平方根の性質

(□)2 = 9 から、9 の平方根は ±3 です。 ところが、 (□)2 = 0 の場合、 □ に入るのは 0 だけです。0 には正も負もありません。

(正の数)×(正の数)=(正の数)
(負の数)×(負の数)=(正の数)

このように、2乗して負の数になることはないので、負の数の平方根は存在しません。つまり、平方根には次のような性質があります。

〈平方根の性質〉
・ふつう、平方根には正と負の2つが存在する
・0 の平方根は 0 だけである
・負の数の平方根は存在しない

平方根とルート

「4の平方根」 や 「1の平方根」 は
 (□)2 = 4, (□)2 = 1 の式の「□」に当てはまる数のことです。

「4の平方根」 は ±2
「1の平方根」 は ±1

これをことばでなく平方根を表す根号(ルート)という記号、  を使って表すと、
 「4の平方根」 は ±2 → √4 = ±2
 「1の平方根」 は ±1 → √1 = ±1
根号を用いると、「2の平方根」や「3の平方根」のように整数にならないような場合も「平方根」を表すことができます。

「2の平方根」は ±√2
「3の平方根」は ±√3

負の数の平方根は存在しないので根号 √ の中は必ず正の数になることを忘れないでください。たとえば、「xの平方根」 が ±√x であるとき x の値は必ず正の数になります。


根号(ルート)のついた数

根号のついた数と2乗(平方)との間には次のような関係があります。
① (√a)2 = a
 ―― √a は a の平方根のうち正の方を表す

(√a)2 = √a × √a
 = a

√5 → 5の平方根のうちの正の方

② (-√a)2 = a
 ――  -√a は a の平方根のうち負の方を表す

(-√a)2 = (-√a) × (-√a)
 = a

(-√5) → 5の平方根のうち負の方

③ √a2 = a
 ―― √a2a2 の平方根のうち正の方を表す

√a2 = √a × a
 = a

√52 → √5 × 5 = √25 = 5
 ∴ 25の平方根のうち正の方

④ √(-a)2 = a
 ―― √(-a)2a2 の平方根のうち負の方を表す

√(-a)2 = √(-a) × (-a)
 = a

√(-5)2 = √(-5) × (-5) = √25 = 5
 ∴ 25の平方根のうち負の方


平方根の値の大小

基本的に、 a, b が正の整数であり a < b であるならば

√a < √b

となります。 根号(ルート)のついた数どうしであればルート内の数値を比べれば大小がわかります。 √11, √19 において、ルート内が 11 < 19 であるから

√11 < √19

となります。

〈自然数の平方根〉

1 から 10 までの自然数について、それぞれ平方根を求めると次のようになります。 まず、電卓を用意してください。平方根の求め方は
 ① 求める自然数を打ち込む
 ② 電卓の「 √ 」ボタンを押す

手順で行います。

√1 = 1
√2 = 1.4142135 ...
√3 = 1.7320508 ...
√4 = 2
√5 = 2.2360679 ...
√6 = 2.4494897 ...
√7 = 2.6457513 ...
√8 = 2.8284271 ...
√9 = 3
√10 = 3.162277 ...

次に、根号のついた数とついていない数の大小を比べましょう。この場合、√a2 = a の関係式を利用します。

4 と √17 の大小を比べる
 実際の問題では電卓は使えないので、ひと工夫します。まず、整数の「4」に根号をつけます。

√a2 = a より
√(4)2 = 4
√4 × 4 = 4
√16 = 4
√16 と √17 において、
16 < 17 なので
√16 < √17
∴ 4 < √17


演 習

・次の式を満たす 自然数 a の値をすべて答えなさい。

(1) 4 < √a < 5
(2) √15 < a < √71



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