高校入試[英語・数学]| 平方根：平方根

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平方根

正方形の面積は、\(1\) 辺を \(2\) 乗して求められますが、正方形の \(1\) 辺は逆に正方形の面積から求めることになります。この場合、面積に対する \(1\) 辺を平方根といいます。

平方根　主な学習のポイント
・平方根について理解する
・有理数や無理数を含む「数」について整理
・根号を含む式の計算方法をマスターする
この項目についてお聞きになりたいことは、「*ご質問・お問わせ」からお願いします

平方根の定義

\(2\) 乗 \((\color{crimson}{=\small{平方}})\) すると \(\boldsymbol{a}\) になるもとの数を「\(\boldsymbol{a}\) の平方根」といいます。つまり、

平方根は \(\boldsymbol{2}\) 乗の逆

のことになります。

\(\boldsymbol{5}\) の \(\boldsymbol{2}\) 乗 \(→\) \[\boldsymbol{5 \times 5=25}\] \(\boldsymbol{-5}\) の \(\boldsymbol{2}\) 乗 \(→\) \[\boldsymbol{(-5) \times (-5)=25}\]

∴	\(\boldsymbol{25}\) の平方根は \(\boldsymbol{+5}\) と \(\boldsymbol{-5}\) である

このように、絶対値が同じで符号の異なる正負の \(2\) 数が存在することになります。このとき、\(+5\) と \(-5\) を合わせて \(\boldsymbol{±5}\) と「複号」を用いて表し「プラスマイナス \(\boldsymbol{5}\)」と読みます。

\[\large{\boldsymbol{\color{crimson}{(□)^2=9}}}\] が成り立つのは \( □\) が \(+3\) または \(-3\) になるときだから、\(9\) の平方根は \(\boldsymbol{\color{crimson}{±3}}\) になります。

平方根の性質

\[(□)^2=9\] から、\(9\) の平方根は \(±3\) です。ところが、 \[(□)^2=0\] の場合、 \(□\) に入るのは \(0\) だけです。\(0\) には正も負もありません。

（正の数）\(\times\)（正の数）\(=\)（正の数）

（負の数）\(\times\)（負の数）\(=\)（正の数）

\(2\) 乗して負の数になることはないので、負の数の平方根は存在しません。

平方根の性質

・ふつう、平方根には正と負の \(\boldsymbol{2}\) つが存在する

・\(\boldsymbol{0}\) の平方根は \(\boldsymbol{0}\) だけである

・負の数の平方根は存在しない

平方根とルート

「\(4\) の平方根」や「\(1\) の平方根」は \[(□)^2=4,\quad (□)^2=1\] の式の \(□\) に当てはまる数のことです。「\(4\) の平方根」は \(±2,\) 「\(1\) の平方根」は \(±1\) となりますが、これを平方根を表す記号を使って表すと、 \begin{eqnarray} & &\large{\boldsymbol{\color{blue}{\sqrt{4}}=±2}}\\[5px] & &\large{\boldsymbol{\color{blue}{\sqrt{1}}=±1}} \end{eqnarray} これを根号（ルート）といい、\(\boldsymbol{\sqrt{}}\) を使って表します。根号を用いると、

「\(2\) の平方根\(\;=±\sqrt{2}\)」

「\(3\) の平方根\(\;=±\sqrt{3}\)」

のように整数にならないような場合も表せます。負の数の平方根は存在しないので根号 \(\sqrt{}\) の中は必ず正の数になるので、「\(x\) の平方根」が \(±\sqrt{x}\) であるとき \(x\) の値は必ず正の数になります。

根号（ルート）のついた数

根号のついた数と \(2\) 乗（平方）との間には次のような関係があります。

\(\boldsymbol{1)\quad (\sqrt{a})^2=a}\)

\(\boldsymbol{\sqrt{a}}\) は \(\boldsymbol{a}\) の平方根のうち正の方

\begin{eqnarray} & &\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=\sqrt{a} \times \sqrt{a}=a}\\ & &\small{より、}\\[7px] & &\boldsymbol{\sqrt{5}}\;→\\ & &\boldsymbol{5}\;\small{の平方根のうちの正の方} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{2)\quad (-\sqrt{a})^2=a}\)

\(\boldsymbol{-\sqrt{a}}\) は \(\boldsymbol{a}\) の平方根のうち負の方

\begin{eqnarray} & &\boldsymbol{(-\sqrt{a})^2=(-\sqrt{a}) \times (-\sqrt{a})=a}\\ & &\small{より、}\\[7px] & &\boldsymbol{-\sqrt{5}}\;→\\ & &\boldsymbol{5}\;\small{の平方根のうちの負の方} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{3)\quad \sqrt{a^2}=a}\)

\(\boldsymbol{\sqrt{a}}\) は \(\boldsymbol{a^2}\) の平方根のうち正の方

\begin{eqnarray} & &\boldsymbol{\sqrt{a^2}=\sqrt{a \times a}=a}\\ & &\small{より、}\\[7px] & &\boldsymbol{\sqrt{5^2}=\sqrt{5 \times 5}}\\ & &=\boldsymbol{\sqrt{25}}=5\;→\\ & &\boldsymbol{25}\;\small{の平方根のうちの正の方} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{4)\quad \sqrt{(-a)^2}=a}\)

\(\boldsymbol{\sqrt{(-a)^2}}\) は \(\boldsymbol{a^2}\) の平方根のうち負の方

\begin{eqnarray} & &\boldsymbol{\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{(-a) \times (-a)}=a}\\ & &\small{より、}\\[7px] & &\boldsymbol{\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{(-5) \times (-5)}}\\ & &=\boldsymbol{\sqrt{25}}=5\;→\\ & &\boldsymbol{25}\;\small{の平方根のうちの負の方} \end{eqnarray}

平方根の値の大小

基本的に、 \(a,\;b\) が正の整数であり \(\boldsymbol{a \lt b}\) であるならば \[\boldsymbol{\color{blue}{\sqrt{a} \lt \sqrt{b}}}\]

となります。根号（ルート）のついた数どうしであればルート内の数値を比べれば大小がわかります。 \(\sqrt{11},\;\sqrt{19}\) において、ルート内が \(11 \lt 19\) であるから \[\boldsymbol{\sqrt{11} \lt \sqrt{19}}\] となります。

自然数の平方根

\(1\) から \(10\) までの自然数について、それぞれ平方根を求めると次のようになります。まず、電卓を用意してください。平方根の求め方は求める自然数を電卓に打ち込んでから、「\(\sqrt{}\)」ボタンを押します。

\begin{eqnarray} & &\sqrt{1}=\boldsymbol{\color{crimson}{1}}\\[5px] & &\sqrt{2}=1.4142135\; ...\\[5px] & &\sqrt{3}=1.7320508\; ...\\[5px] & &\sqrt{4}=\boldsymbol{\color{crimson}{2}}\\[5px] & &\sqrt{5}=2.2360679\; ...\\[5px] & &\sqrt{6}=2.4494897\; ...\\[5px] & &\sqrt{7}=2.6457513\; ...\\[5px] & &\sqrt{8}=2.8284271\; ...\\[5px] & &\sqrt{9}=\boldsymbol{\color{crimson}{3}}\\[5px] & &\sqrt{10}=3.162277\; ... \end{eqnarray}

次に、根号のついた数とついていない数の大小を比べましょう。

\(\boldsymbol{4}\) と \(\boldsymbol{\sqrt{17}}\) の大小を比べる
実際の問題では電卓は使えないので、整数の \(\boldsymbol{4}\) に根号をつけます。 \begin{eqnarray} & &\sqrt{a^2}=a\;\small{}より\\[7px] & &\sqrt{4^2}=4\\ & &\sqrt{4 \times 4}=4\\ & &\sqrt{16}=4\\[7px] & &\sqrt{16}\;\small{と}\;\normalsize{\sqrt{17}}\;\small{において、}\\ & &16 \lt 17\\ & &\small{から、}\\ & &\sqrt{16} \lt \sqrt{17}\\[12px] & &\boldsymbol{∴\quad 4 \lt √17} \end{eqnarray}

演　習

・次の式を満たす自然数 \(a\) の値をすべて答えなさい。

\((1) \quad 4 \lt \sqrt{a} \lt 5\)

\((2) \quad \sqrt{15} \lt a \lt \sqrt{71}\)

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