高校入試[英語・数学]| 平方根の乗法・除法

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平方根の乗法・除法

平方根の計算では、根号を含む数を\(\boldsymbol{1}\) つの文字と考えます。

計算の基本

文字どうしの乗法と除法では、

\(\boldsymbol{a \times b=ab,}\)

\(\boldsymbol{a \div b=\cfrac{a}{b}}\)

のように計算できます。平方根は \(2\) 乗の逆ですから、

\(\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=a,}\)

\(\boldsymbol{(\sqrt{b})^2=b}\)

となり、 \begin{eqnarray} & &a \times b=ab\\ & &\small{から、}\\ & &\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{ab}\\[12px] & &\small{同じく、}\\ & &a \div b=\frac{a}{b}\\ & &\small{から、}\\[12px] & &\sqrt{a} \div \sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}} \end{eqnarray}

根号を含む数どうしの乗法、除法では根号の中どうしを計算できます。

平方根の乗法：除法は根号内の数の乗法

根号を含まない数と含む数の乗法と除法

\(\boldsymbol{2 \times \sqrt{5}}\) のような場合は、\(\sqrt{5}\) を \(1\) つの文字と考え、積の記号「\(\times\)」を省略して \(\boldsymbol{2\sqrt{5}}\) のように書きます。同じく、\(\boldsymbol{2 \div \sqrt{5}}\) は \(\boldsymbol{\cfrac{2}{\sqrt{5}}}\) のようにします。また、\(2\sqrt{5}\) の \(\boldsymbol{\color{blue}{2}}\) は平方根の性質から \begin{eqnarray} & &2=\sqrt{(2)^2}\\[5px] & &\small{と表せるから、}\\[12px] & &2\sqrt{5}=2 \times \sqrt{5}\\[5px] & &=\sqrt{(2^2)}\times \sqrt{5}\\[5px] & &\small{から、}\\[12px] & &\sqrt{(2)^2} \times \sqrt{5}\\[5px] & &=\sqrt{(2)^2 \times 5}\\[5px] & &=\sqrt{4 \times 5}\\[5px] & &=\boldsymbol{\sqrt{20}} \end{eqnarray} のように、根号を含まない数を \(2\) 乗の形に変えて根号内に入れることができます。 \(\sqrt{a}\) の形にすることで計算が楽になる場合があるので覚えておいてください。

根号内の数値が大きく、簡単な数に変形したい場合は、逆の操作をして \(a\sqrt{b}\) の形にします。 \begin{eqnarray} \sqrt{50}&=&\sqrt{25 \times 2}\\[5px] &=&\sqrt{(5)^2 \times 2}\\[5px] &=&5 \times \sqrt{2}\\[5px] &=&\boldsymbol{5\sqrt{2}} \end{eqnarray}

\(\sqrt{252}\) のようにケタ数の多いものは「素因数分解」して簡単にします。 \begin{eqnarray} \sqrt{252}&=&\sqrt{2 \times 126}\\[5px] &=&\sqrt{2 \times 2 \times 63}\\[5px] &=&\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 21}\\[5px] &=&\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7}\\[5px] &=&\sqrt{(2)^2 \times (3)^2 \times 7}\\[5px] &=&2 \times 3 \times \sqrt{7}\\[5px] &=&\boldsymbol{6\sqrt{7}} \end{eqnarray}

分母の有理化

分数の計算では、分母に根号があると値を求めるとき計算が面倒になるので、分母から根号を含む数を消去します。消去法には、「ある数に \(\boldsymbol{1}\) をかけても数の大きさは変わらない」という性質を利用します。分母に含まれる根号を含む数と同じ数を分母と分子にかける \[\boldsymbol{\cfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=1}\] こうすれば、分母に根号を含まない形に変形できます。これを「分母の有理化」といいます。

\(\boldsymbol{\cfrac{4}{\sqrt{6}}}\) を有理化する
根号を含む \(\sqrt{6}\) を分母と分子に掛けます \begin{eqnarray} \frac{4}{\sqrt{6}}&=&\cfrac{4\times\boldsymbol{\color{red}{\sqrt{6}}}}{\sqrt{6}\times\boldsymbol{\color{red}{\sqrt{6}}}}\\[7px] &=&\frac{4 \times \sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2}\\[7px] &=&\frac{4\sqrt{6}}{6}\\[7px] &=&\boldsymbol{\frac{2\sqrt{6}}{3}} \end{eqnarray}