平方根の加法・減法
根号を含む数は \(1\) つの文字とみなし、文字式と同じ方法で計算します。したがって、根号を含む数の加法と減法において、式を展開する場合も多項式と同じように分配法則や乗法公式を利用して展開することができます。計算の基本
根号を含む数の加法・減法では、根号を含む数を \(1\) つの項とみなし、計算は文字式の計算と同じように同類項ごとにまとめて行います。たとえば、 \(5\sqrt{3}+2\sqrt{3}\) を計算する場合、 分配法則を利用して、 \begin{eqnarray} & &5\sqrt{3}+2\sqrt{3}\\[5px] & &=5\times\sqrt{3}+2\times\sqrt{3}\\[5px] & &=(5+2)\sqrt{3}\\[5px] & &=\boldsymbol{7\sqrt{3}}\\[9px] & &\small{減法も同じく、}\\[9px] & &5\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\[5px] & &=(5-2)\sqrt{3}\\[5px] & &=\boldsymbol{3\sqrt{3}} \end{eqnarray}| 平方根の加法・減法は文字式の計算と同じ |
分数の分母が根号を含む数なので、有理化して整数にします。また、\(\sqrt{125}\) は根号内を整理します。 \begin{eqnarray} & &\frac{4 \times \color{red}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5} \times \color{red}{\sqrt{5}}}+\sqrt{125}\\[5px] & &=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}+\sqrt{5^2 \times 5}\\[5px] & &=\frac{4\sqrt{5}}{5}+5\sqrt{5}\\[5px] & &=\frac{4\sqrt{5}+25\sqrt{5}}{5}\\[5px] & &=\boldsymbol{\frac{29\sqrt{5}}{5}}\;…\;答え \end{eqnarray}
根号を含む式の展開
根号を含む数は \(\boldsymbol{1}\) つの文字と考えるので、多項式と同じように分配法則や乗法公式を用いて展開できます。 ・分配法則 \begin{eqnarray} & &\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\\[5px] & &=\sqrt{2} \times \sqrt{3}+\sqrt{2} \times 1\\[5px] & &=\boldsymbol{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \end{eqnarray} ・平方公式 \begin{eqnarray} & &(\sqrt{3}+1)^2\\[5px] & &=(\sqrt{3})^2+2(\sqrt{3} \times 1)+(1)^2\\[5px] & &=3+2\sqrt{3}+1\\[5px] & &=\boldsymbol{4+2\sqrt{3}} \end{eqnarray} ・和と差の積 \begin{eqnarray} & &(\sqrt{3}+1) (\sqrt{3}-1)\\[5px] & &=(\sqrt{3})^2-(1)^2\\[5px] & &=3-1=\boldsymbol{2} \end{eqnarray}演 習 |
| \((1) \quad \sqrt{98} \times \sqrt{27}\) |
| \((2) \quad \sqrt{12}+\sqrt{75}\) |
| \((3) \quad \cfrac{\sqrt{18}-6}{\sqrt{50}}\) |
| \((4) \quad (\sqrt{5}-\sqrt{2}+2)(\sqrt{5}-\sqrt{2}-2)\) |