高校入試[英語・数学]| 三平方の定理

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三平方の定理

「直角三角形の斜辺の \(2\) 乗は、他の直角をはさむ \(2\) 辺の \(2\) 乗の和に等しい」ことを三平方の定理といいます。これは、「直角三角形の斜辺を \(1\) 辺とする正方形の面積は他の \(2\) 辺をそれぞれ \(1\) 辺とする \(2\) つの正方形の面積の和に等しい」と言いかえることができます。

三平方の定理　主な学習のポイント
・三平方の定理の意味を理解し、証明する
・三平方の定理を利用して辺の長さを求める
・三平方の定理を利用した応用問題
この項目についてお聞きになりたいことは、「*ご質問・お問わせ」からお願いします

三平方の定理の定義

図のような直角三角形 \(ABC\) について、

三角形の内角の和は \(180^{\circ}\) ですから、 \begin{eqnarray} & &x+y+90^{\circ}=180^{\circ}\\[5px] & &\small{より}\\[5px] & &x+y=180^{\circ}-90^{\circ}\\[5px] & &\hspace{46px}=\boldsymbol{90^{\circ}}\;――\;1 \end{eqnarray} これを頭に入れて、この直角三角形を \(4\) つ使って次のような図形をつくります。

四角形 \(ABCD\) は、\(1\) 辺の長さが \(\boldsymbol{a+b}\) の正方形なので、その面積は

正方形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の面積 \[=\boldsymbol{(a+b)^2}\;――\;2\]

次に、正方形 \(ABCD\) の中に見える 四角形\(\boldsymbol{PQRS}\) の \(1\) つの内角 \(\boldsymbol{∠PQR}\) について考えます。

\begin{eqnarray} & &\small{直線のつくる角は}\;\normalsize{180^{\circ}}\\[5px] & &\small{よって、}\\[5px] & &∠PQA+∠PQR+∠RQB=180^{\circ}\\[12px] & &∠PQA=x,\quad ∠RQB=y\\[5px] & &\small{から、}\\[5px] & &x+∠PQR+y=180\\[5px] & &∠PQR=180-(x-y)\\[12px] & &1\;\small{より、}\\[5px] & &∠PQR=180-90\\[5px] & &=\boldsymbol{90}\;――\;3 \end{eqnarray}

他の内角も同じ値になるので、四角形 \(PQRS\) も \(1\) 辺の長さが \(\boldsymbol{c}\) の正方形になり、これらの直角三角形と正方形との間には、次の関係が成り立ちます。

正方形 \(\boldsymbol{PQRS}\) の面積

\(\boldsymbol{=\;}\)

正方形 \(\boldsymbol{ABCD}\) の面積\(\boldsymbol{\;-\;4\;}\)つの直角三角形の面積の和

これを数式で表すと、 \begin{eqnarray} c^2&=&(a+b)^2-4 \times \frac{1}{2} \times a \times b\\[5px] &=&a^2+2ab+b^2-2ab\\[5px] &=&a^2+b^2 \end{eqnarray}

これは、「直角をはさむ \(\boldsymbol{2}\) 辺 \(\boldsymbol{a,\;b}\) をそれぞれ \(\boldsymbol{1}\) 辺とする正方形の和が斜辺 \(\boldsymbol{c}\) を \(\boldsymbol{1}\) 辺とする正方形の面積に等しい」ことを表します。

さらに、このことは直角三角形において、「直角をはさむ2辺の2乗の和は斜辺の2乗の和に等しい」ことを表わし、これを三平方の定理、または ピタゴラスの定理といいます。

例　題

次の直角三角形において、\(x\) の値を求めなさい。

解　説

\((1)\)　三平方の定理を利用して、

\begin{eqnarray} & &AC^2+BC^2=AB^2\\[5px] & &\small{より、}\\[12px] & &(6\sqrt{2})^2+(9)^2=x^2\\[5px] & &36 \times 2+81=x^2\\[5px] & &72+64=x^2\\[5px] & &x^2=136\\[5px] & &x=\boldsymbol{±2\sqrt{34}} \end{eqnarray}

この問題では、負の値は不適切 \[\boldsymbol{∴\quad x=2\sqrt{34}\;cm}\;…\;答え\]

\((2)\)　同じく、 \begin{eqnarray} & &AC^2+BC^2=AB^2\\[5px] & &\small{より、}\\[12px] & &x^2+(4)^2=(5)^2\\[5px] & &x^2=(5)^2-(4)^2\\[5px] & &=25-16=9\\[5px] & &x=±\sqrt{9}\\[5px] & &=±3\\[12px] & &\boldsymbol{∴\quad x=3\;cm}\;…\;答え \end{eqnarray}

三平方の定理

三平方の定理の定義

例 題

例　題