次 へ >>

三平方の定理

直角三角形の斜辺の2乗は、他の直角をはさむ2辺の2乗の和に等しい」ことを三平方の定理といいます。これは、「直角三角形の斜辺を1辺とする正方形の面積は他の2辺をそれぞれ1辺とする2つの正方形の面積の和に等しい」と言いかえることができます。

三平方の定理 主な学習のポイント
・三平方の定理の意味を理解し、証明する
・三平方の定理を利用して辺の長さを求める
・三平方の定理を利用した応用問題の解き方をマスターする 
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

三平方の定理とは

図のような直角三角形ABC について、

三角形の内角の和は180°ですから、

x + y + 90° = 180°
より
x + y = 180° - 90°
 = 90° ―― ①

これを頭に入れて、この直角三角形を4つ使って次のような図形をつくります。

四角形ABCD は、1辺の長さが a + b の正方形なので、その面積は

正方形ABCD の面積
 = (a + b)2
 ―― ②

次に、 正方形ABCD の中に見える 四角形PQRS の1つの内角 ∠PQR について考えます。

直線のつくる角は180° より、
∠PQA + ∠PQR + ∠RQB
 = 180°
∠PQA = x, ∠RQB = y
より、
x + ∠PQR + y
 = 180°
∠PQR = 180° - (x + y)
①より、
∠PQR = 180° - 90
 = 90° ―― ③

他の内角も同じ値になるので、 四角形PQRSも1辺の長さが c の正方形になり、 これらの直角三角形と正方形との間には、次の関係が成り立ちます。

これを数式で表すと、

c2 = (a + b)2 - 4
 × 1/2 × a × b
 = a2 + 2ab + b2 - 2ab
 = a2 + b2

これは、
「直角をはさむ2辺a, b をそれぞれ1辺とする正方形の和が斜辺c を1辺とする正方形の面積に等しい」
ことを表します。

さらに、このことは直角三角形において、「直角をはさむ2辺の2乗の和は斜辺の2乗の和に等しい」ことを表わし、これを三平方の定理、または ピタゴラスの定理といいます。


例 題:
 次の直角三角形において、x の値を求めなさい。

解 説
(1) 三平方の定理を利用して、

AC2 + BC2 = AB2
より、
(6√2)2 + (9)2 = x2
36 × 2 + 81 = x2
72 + 64 = x2
x2 = 136
x = ±2√34

この問題では、負の値は不適切
 ∴ x = 2√34 cm

(2) 同じく、

AC2 + BC2 = AB2
より、
x2 + (4)2 = (5)2
x2 = (5)2 - (4)2
 = 25 - 16 = 9
x = ±√9 = ±3
∴ x = 3 cm

各種問題集

英語[基礎固め]問題集

一般公立校、中堅私立校向け基礎固め問題 おすすめ

数学[基礎固め]問題集

一般公立校、中堅私立校向け基礎固め問題 おすすめ

1学期総復習

2学期以降、英語の苦手意識がつかないよう復習

2学期総復習

広範囲で複雑な英語学習に対応した問題

トレーニング問題

入試英語の要点整理と活用法をこの1冊で修得 おすすめ

トレーニング問題

入試数学の要点整理と活用法をこの1冊で修得 おすすめ

特選英語問題

難関校向け英語実力強化問題

ハイレベル模擬テスト

難関校向け英語実力テスト

↑ PAGE TOP