高校入試[英語・数学]| 特別な直角三角形

特別な直角三角形

三角定規には、\(\boldsymbol{45^{\circ}}\) の角を持つ直角二等辺三角形と、\(\boldsymbol{30^{\circ},\;60^{\circ}}\) の角を持つ直角三角形の \(2\) 種類があり、それぞれ特別な \(\boldsymbol{3}\) 辺の長さの比を持ちます。

三角定規の \(\boldsymbol{3}\) 辺の比

\(2\) つの三角定規には、特別な \(3\) 辺の比があります。

\(\boldsymbol{45^{\circ}}\) の角を持つ直角二等辺三角形

図のように、\(45^{\circ}\) の角を持つ三角形定規は、正方形を対角線で \(2\) 等分したときの直角二等辺三角形になります。正方形の \(1\) 辺の長さを \(\boldsymbol{a}\) とすれば、直角二等辺三角形の直角をはさむ \(2\) 辺の長さも \(\boldsymbol{a}\) になるので、斜辺の長さを \(\boldsymbol{x}\) とすると、三平方の定理により、 \begin{eqnarray} & &AB^2=BC^2+CA^2\\[5px] & &\small{であるから、}\\[12px] & &x^2=a^2+a^2\\[5px] & &\hspace{7px}=2a^2\\[5px] & &\small{ここでは、}\;\normalsize{x \gt 0}\;\small{が適切}\\[5px] & &\boldsymbol{∴\quad x=\sqrt{2}a} \end{eqnarray} よって、\(\boldsymbol{3}\) 辺の長さの比は \begin{eqnarray} & &BC:AB:CA=a:a:\sqrt{2}a\\[5px] & &\hspace{7px}=\boldsymbol{\color{blue}{1:1:\sqrt{2}}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{30^{\circ},\;60^{\circ}}\) の角を持つ直角二等辺三角形

この三角定規は、正三角形を半分に折り曲げたときの直角三角形になります。
正三角形の \(1\) 辺の長さを \(\boldsymbol{2a}\) とすれば、直角三角形 \(ABC\) の辺 \(BC\) はその半分の \(\boldsymbol{a}\) になります。また、\(AC\) の長さを \(\boldsymbol{x}\) とすると、三平方の定理より \begin{eqnarray} & &AB^2=BC^2+CA^2\\[5px] & &\small{であるから、}\\[12px] & &(2a)^2=a^2+x^2\\[5px] & &x^2=4a^2-a^2\\[5px] & &x^2=3a^2\\[5px] & &x \gt 0\;\small{より、}\\[5px] & &x=\boldsymbol{\sqrt{3}a} \end{eqnarray} したがって、\(\boldsymbol{3}\) 辺の長さの比は \begin{eqnarray} & &BC:AB:CA=a:2a:\sqrt{3}a\\[5px] & &\hspace{7px}=\boldsymbol{\color{blue}{1:2:\sqrt{3}}} \end{eqnarray} となります。

「\(\boldsymbol{1}\) 辺の長さが \(\boldsymbol{10\;cm}\) の正三角形の面積を求めなさい」という問題では、高さがわからないので面積は求められません。そこで、正三角形の頂角 \(A\) の垂直二等分線をとることでできる直角三角形 \(ABH\) について考えます。

\(△ABH\) は直角三角形になり、三平方の定理より \begin{eqnarray} & &AB^2=BH^2+AH^2\\[5px] & &(10)^2=(5)^2+AH^2\\[12px] & &100=25+AH^2\\[5px] & &AH^2=100-25\\[5px] & &\hspace{7px}=75\\[12px] & &AH \gt 0\;\small{より}\\[5px] & &AH=\sqrt{75}\\[5px] & &\hspace{7px}=25 \times 3\\[5px] & &\hspace{7px}=\boldsymbol{5\sqrt{3}\;cm} \end{eqnarray}

三角形の面積 \(=\boldsymbol{\cfrac{1}{2}}\times\) 底辺 \(\times\) 高さより、\begin{eqnarray} & &S=\frac{1}{2} \times BH \times AH \\[7px] & &\hspace{5px}=\frac{1}{2} \times 10 \times 5\sqrt{3}\\[7px] & &\hspace{5px}=\boldsymbol{25\sqrt{3}\;cm^2} \end{eqnarray}

これまでのように、三平方の定理を利用して正三角形の高さを求める方法のほかに、\(30^{\circ},\;60^{\circ}\) を含む直角三角形の \(3\) 辺の長さの比の関係から、 \begin{eqnarray} & &BH:AB:AH=1:2:\sqrt{3}\\[5px] & &\small{より、}\\[12px] & &BH:AH=1:\sqrt{3}\\[5px] & &5:AH=1:\sqrt{3}\\[5px] & &AH=5\sqrt{3}\;cm \end{eqnarray} よって、 \begin{eqnarray} & &△ABC\;の面積=\frac{1}{2} \times 10 \times 5\sqrt{3}\\[7px] & &\hspace{7px}=\boldsymbol{25\sqrt{3}\;cm^2} \end{eqnarray} のような方法も利用できます。

円の弦や接線の長さ

半径 \(6\;cm\) の円 \(O\) において、弦 \(AB\) の長さが \(8\;cm\) のとき、この円の中心から弦 \(\boldsymbol{AB}\) までの距離を求めましょう。

円 \(O\) の中心から弦 \(AB\) までの距離は、\(O\) から \(AB\) へ下ろした垂線の長さに等しくなります。そこで、図のように \(OH,\;OA\) を定めると、

\begin{eqnarray} & &△OAB\;\small{において、}\\[5px] & &\boldsymbol{OA=OB}\;――\;1\;\small{\color{red}{(円\;O\;の半径)}}\\[12px] & &\small{よって、この三角形は二等辺三角形であり、}\\[5px] & &\boldsymbol{∠A=∠B}\;――\;2\\[12px] & &△OAH\;\small{と}\;\normalsize{△OBH}\;\small{において、}\\[5px] & &\small{仮定より}\\[5px] & &∠OHA=∠OHB=90^{\circ}\\[5px] & &\small{だから、}\\[12px] & &∠AOH=180-(∠OAH+∠OHA)\\[5px] & &\hspace{7px}=180-(∠OAH+90)\\[12px] & &∠BOH=180-(∠OBH+∠OHB)\\[5px] & &\hspace{7px}=180-(∠OBH+90)\\[12px] & &2\;\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{∠AOH=∠BOH}\;――\;3\\[5px] & &\boldsymbol{OH=HO}\;――\;4\;\small{\color{red}{(共通の辺)}}\\[5px] & &1,\;3,\;4\;\small{より} \end{eqnarray} \(\boldsymbol{2}\) 辺とその間の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同である から、 \[\boldsymbol{△OAH ≡ △OBH}\] 合同な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しいので、 \begin{eqnarray} & &AH=BH\\[7px] & &\hspace{7px}=\frac{8}{2}\\[7px] & &\hspace{7px}=\boldsymbol{4\;cm}\\[12px] & &\small{よって、}\\[7px] & &△OBH\;\small{において、三平方の定理より、}\\[7px] & &OB^2=BH^2+OH^2\\[7px] & &(6)^2=(4)^2+OH^2\\[7px] & &36=16+OH^2\\[7px] & &OH^2=36-16\\[7px] & &\hspace{7px}=20\\[12px] & &OH \gt 0\;\small{より}\\[7px] & &OH=\sqrt{20}\\[7px] & &=\boldsymbol{2\sqrt{5}\;cm} \end{eqnarray}

弦や接線の長さを求める問題には、三平方の定理と図形の性質や合同、相似などを組み合わせて解くものが数多くあります。