座標平面上の \(\boldsymbol{2}\) 点間の距離
図のように、座標平面上に \(2\) 点 \(A\;(x1,\hspace{9px}y1) \quad B\;(x2,\hspace{9px}y2)\) があり、
線分 \(AB\) が \(x\) 軸や \(y\) 軸と平行でないとき、\(AB\) は直角三角形 \(\boldsymbol{ABC}\) の斜辺にあたることから、
三平方の定理を利用して長さを求めることができます。
\(△ABC\) において、三平方の定理より
\begin{eqnarray}
& &AB^2=AC^2+BC^2\\[12px]
& &AC,\;BC\;\small{の長さはそれぞれ}\\[5px]
& &AC=x2-x1,\\[5px]
& &BC=y2-y1\\[5px]
& &\small{であるから、}\\[12px]
& &AB^2=(x^2-x^1)^2+(y2-y1)^2\\[12px]
& &AB \gt 0\;\small{より、}\\[5px]
& &AB=\boldsymbol{\color{blue}{\sqrt{(x^2-x^1)^2+(y^2-y^1)^2}}}
\end{eqnarray}
このことから、
| 座標平面上の \(\boldsymbol{2}\) 点間の距離 |
| \(\boldsymbol{=\sqrt{(x\;座標の差)^2+(y\;座標の差)^2}}\) |
この式を、座標平面上の \(2\) 点間の距離を求める公式として利用します。
例 題:
次の \(2\) 点 \(AB\) 間の距離を三平方の定理と \(2\) 点間距離の公式を使って求めなさい。
\begin{eqnarray}
& &(1) \quad A(3,\hspace{9px}7), \qquad B(6,\hspace{8px}-5)\\[5px]
& &(2) \quad A(-5,\hspace{7px}-2), \qquad B(4,\hspace{9px}4)\\[5px]
& &(3) \quad A(1,\hspace{8px}-6), \qquad B(6,\hspace{9px}0)\\[5px]
& &(4) \quad A(-3,\hspace{7px}-1), \qquad B(4,\hspace{8px}-3)
\end{eqnarray}
座標平面上に \(2\) 点をとり、その \(2\) 点を通る直線を引きます。
・三平方の定理を利用する
図のような \(△ABC\) をイメージします。このとき、各辺の長さは \(x\) 軸、\(y\) 軸からの距離（絶対値）と考えます。
三平方の定理より、
\begin{eqnarray}
& &AB^2=AC^2+BC^2\\[12px]
& &\hspace{7px}=(7+5)^2+(6-3)^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=(12)^2+(3)^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=144+9\\[5px]
& &\hspace{7px}=153\\[12px]
& &AB \gt 0\;\small{より、}\\[5px]
& &AB=\sqrt{153}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{9 \times 17}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\boldsymbol{3\sqrt{17}}\;…\;答え
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
& &AB=\sqrt{(6-3)^2+\{7-(-5)\}^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{(3)^2+(7+5)^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{9+(12)^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{9+144}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{153}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\boldsymbol{3\sqrt{17}}\;…\;答え
\end{eqnarray}
・三平方の定理を利用する
図のような \(△ABC\) をイメージします
\begin{eqnarray}
& &AB^2=AC^2+BC^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=(5+4)^2+(4+2)^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=(9)^2+(6)^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=81+36\\[5px]
& &\hspace{7px}=117\\[12px]
& &AB \gt 0\;より、\\[5px]
& &AB=\sqrt{117}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{3 \times 3 \times 13}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\boldsymbol{3\sqrt{13}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
& &AB=\sqrt{\{4-(-5)\}^2+\{4-(-2)^2\}}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{(4+5)^2+(4+2)^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{(9)^2+(6)^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{81+36}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{117}\\[5px]
& &=\sqrt{3 \times 3 \times 13}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\boldsymbol{3\sqrt{13}}
\end{eqnarray}
・三平方の定理を利用する
図のような \(△ABC\) をイメージします
\begin{eqnarray}
& &AB^2=AC^2+BC^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=(6-1)^2+\{0-(-6)\}^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=(5)^2+(6)^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=25+36\\[5px]
& &\hspace{7px}=61\\[12px]
& &AB \gt 0\;より、\\[5px]
& &AB=\boldsymbol{\sqrt{61}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
& &AB=\sqrt{(6-1)^2+\{0-(-6)}\}^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{(5)^2+(6)^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{25+36}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\boldsymbol{\sqrt{61}}
\end{eqnarray}
図のような \(△ABC\) をイメージします
\begin{eqnarray}
& &AB^2=BC^2+CA^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=(2)^2+(3+4)^2\\[5px]
& &\hspace{7px}=4+49\\[5px]
& &\hspace{7px}=53\\[12px]
& &AB \gt 0\;\small{より、}\\[5px]
& &AB=\boldsymbol{\sqrt{53}}
\end{eqnarray}
| ・ |
\(\boldsymbol{2}\) 点間の距離を求める公式を利用する |
\begin{eqnarray}
& &AB^2=BC^2+CA^2\\[12px]
& &AB=\sqrt{\{4-(-3)\}^2+\{(-3)-(-1)\}^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{(4+3)^2+(-3+1)^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{(7)^2+(-2)^2}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\sqrt{49+4}\\[5px]
& &\hspace{7px}=\boldsymbol{\sqrt{53}}
\end{eqnarray}
