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直方体の対角線の長さ
図のような直方体 \(ABCD-EFGH\) の対角線を求めましょう。ここでは、\(AE=\boldsymbol{c},\quad EH=\boldsymbol{b},\quad GH=\boldsymbol{a}\) とします。
直方体の対角線 \(AG\) と定めます。辺 \(\boldsymbol{AE}\) は面 \(\boldsymbol{EFGH}\) に対して垂直なので、
\[\boldsymbol{AE ⊥ EG}\]
よって、\(\boldsymbol{△AEG}\) は直角三角形になります
直角三角形 \(AEG\) において、三平方の定理より、
\[\boldsymbol{AG^2=AE^2+EG^2}\]
このとき、 \(\boldsymbol{EG}\) は長方形 \(\boldsymbol{EFGH}\) の対角線にあたるので、同じく三平方の定理を利用します。図より、
\begin{eqnarray}
& &AG^2=AE^2+(GH^2+EH^2)\\[5px]
& &\hspace{10px}=c^2+a^2+b^2\\[5px]
& &\hspace{10px}=a^2+b^2+c^2\\[12px]
& &AG \gt 0\;より、\\[5px]
& &AG=\boldsymbol{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
\end{eqnarray}
線分 \(AG\) と同じく、線分 \(BH,\;CE,\;DF\) もこの直方体の対角線になります。また、上の計算でわかるように、直方体の対角線は、
\[\mathbf{\color{crimson}{直方体の対角線^2\;=\;たて^2 \times よこ^2 \times 高さ^2}}\]
の式で求められるので、\(1\) つの公式として利用できます。
角錐の高さ
図のように、すべての辺の長さが \(12\;cm\) の正四角錐 \(O-ABCD\) の高さを求めましょう。
正四角錐は、底面が正方形で側面が正三角形の立体になり、高さは頂点 \(\boldsymbol{O}\) から
底面 \(\boldsymbol{ABCD}\) に下ろした垂線 \(\boldsymbol{OH}\) になるので、\(OH\) の長さを求める場合、
図のような \(\boldsymbol{△OAH}\) を考えます。
\(\boldsymbol{△OAH}\) は直角三角形ですから、三平方の定理より
\[\boldsymbol{OH^2=OA^2-AH^2}\]
次に、この正四角錐を真上から見た図を考えます。
\(AH\) の長さは、底面 \(ABCD\) の対角線の半分に等しいことがわかります。底面 \(ABCD\) は正方形だから、
\(△ABC\) は直角二等辺三角形になります。 \(45^{\circ}\) を含む直角三角形の辺の長さの比より
\begin{eqnarray}
& &AB:BC:AC\\[5px]
& &=1:1:\sqrt{2}\\[5px]
& &\small{から、}\\[5px]
& &AC=12\sqrt{2}\;cm\\[12px]
& &\small{よって、}\\[5px]
& &AH=\frac{12\sqrt{2}}{2}\\[5px]
& &=6\sqrt{2}\;cm\\[5px]
& &\small{これにより、}\\[5px]
& &OH^2=OA^2-AH^2\\[5px]
& &=(12)^2-(6\sqrt{2})^2\\[5px]
& &=144-72=72\\[12px]
& &OH=\sqrt{72}\\[5px]
& &=±6\sqrt{2}\\[12px]
& &OH \gt 0\;\small{より、}\\[5px]
& &\boldsymbol{OH=6\sqrt{2}\;cm}
\end{eqnarray}
角錐の体積を求める問題では、高さを明らかにしていない場合がよくあります。例題のように平面図形から高さを求めますが、そのとき三平方の定理を利用します。
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