逆の証明
\(△ABC\) において、辺 \(AB,\;AC\) 上に \(2\) 点 \(M,\;N\) があるとき、\(MN /\!/ BC\) ならば
| \(a.\quad AM:AB=AN:AC=MN:BC\) |
| \(b.\quad AM:MB=AN:NC\) |
が成り立つことを学習しましたが、この逆について考えます。
\(\boldsymbol{a.}\) についての逆
\(△ABC\) において、\(2\) 辺 \(AB,\;AC\) 上に \(2\) 点 \(M,\;N\) があるとき、\(AM:AB=AN:AC=MN:BC\) ならば \(MN /\!/ BC\) である
平行線の定義を利用します。
証 明
\begin{eqnarray}
& &\boldsymbol{△AMN} \small{と} \normalsize{\boldsymbol{△ABC}}\;\small{において、}\\[5px]
& &\small{仮定より、}\\[5px]
& &\boldsymbol{AM:AB=AN:AC=MN:BC}
\end{eqnarray}
\(\boldsymbol{3}\) 組の辺の長さの比が等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は相似であるから、
\[\boldsymbol{△AMN \sim △ABC}\]
相似な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する角の大きさはすべて等しいので、
\[\boldsymbol{∠AMN=∠ABC,\quad ∠ANM=∠ACB}\]
これらは \(2\) 直線 \(MN,\;BC\) と \(△ABC\) の \(2\) 辺 \(AB,\;AC\) がつくる同位角にあたり、
同位角が等しい \(\boldsymbol{2}\) 直線は平行であるという条件を満たしている
\(\boldsymbol{∴ \quad MN /\!/ BC}\) … 証明終わり
\(\boldsymbol{b.}\) についての逆
\(△ABC\) において、辺 \(AB,\;AC\) 上に \(2\) 点 \(M,\;N\) があるとき、\(AM:MB=AN:NC\) ならば \(MN /\!/ BC\) である
同じく、点 \(\boldsymbol{C}\) を通り \(\boldsymbol{AB}\) と平行な直線を \(\boldsymbol{MN}\) の延長と交わるようにとり、
その交点を \(\boldsymbol{P}\) とします。
証 明
\begin{eqnarray}
& &△AMN\;\small{と}\;\normalsize{△CPN}\;\small{において、}\\[12px]
& &\small{仮定より、}\\[5px]
& &∠MAN=∠PCN\\[5px]
& &\;――1\;\small{(\color{red}{平行線の錯角})}\\[12px]
& &∠MNA=∠PNC\;――\;2\;\small{(\color{red}{対頂角})}
\end{eqnarray}
\(1,2\) より、
\(\boldsymbol{2}\) 組の角の大きさがそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は相似であるから、
\[\boldsymbol{△AMN \sim △CPN}\]
相似な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する辺の長さの比はすべて等しいので、
\begin{eqnarray}
& &\boldsymbol{AM:CP=AN:CN}\;――\;3\\[12px]
& &\small{仮定より、}\\[5px]
& &\boldsymbol{AM:MB=AN:NC}\\[5px]
& &\;――\;4\\[12px]
& &3,\;4\;\small{より、}\\[5px]
& &\boldsymbol{MB=PC}\;――\;5\\[12px]
& &\small{また、仮定より、}\\[5px]
& &AB /\!/ PC\\[5px]
& &\small{であるから}\\[5px]
& &\boldsymbol{MB /\!/ PC}\;――\;6
\end{eqnarray}
これにより、四角形 \(MBCP\) は\(1\) 組の向かい合う辺が平行で長さの等しい平行四辺形であるから、
\[\boldsymbol{MN /\!/ BC}\;…\;証明終わり\]
