定理の証明
「\(\boldsymbol{△ABC}\) の辺 \(\boldsymbol{AB,\;AC}\) 上に \(\boldsymbol{2}\) 点 \(\boldsymbol{M,\;N}\) があるとき、\(\boldsymbol{AM:MB=AN:NC}\) であるならば \(\boldsymbol{MN /\!/ BC}\)」
であることについて学習しましたが、次に、\(2\) 点 \(M,\;N\) がそれぞれ辺 \(AB,\;AC\) の中点である場合について考えます。
証 明
\begin{eqnarray}
& &△AMN\;\small{と}\;\normalsize{△ABC}\;\small{において、}\\[5px]
& &\small{仮定より、}\\[5px]
& &\boldsymbol{AM=BM,\quad AN=NC}\;――\;1\\[12px]
& &\small{よって、}\\[5px]
& &AM:MB=AN:NC\\[5px]
& &=1:1\\[5px]
& &\small{から、}\\[12px]
& &AM:AB=1:2,\quad AN:AC=1:2\\[5px]
& &\small{これにより、}\\[5px]
& &AM:AB=AN:AC\\[5px]
& &=\boldsymbol{1:2}\;――\;2\\[12px]
& &\small{また、}\\[5px]
& &\boldsymbol{∠MAN=∠BAC}\;――\;3\;\small{(\color{red}{共通の角})}
\end{eqnarray}
\(2,\;3\) より、
\(\boldsymbol{2}\) 組の辺の長さの比とその間の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は相似であるから、
\[\boldsymbol{△AMN \sim △ABC}\]
相似な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する角はすべて等しいので、
\begin{eqnarray}
& &\boldsymbol{∠AMN=∠ABC}\\[5px]
& &\small{または、}\;\normalsize{∠ANM=∠ACB}
\end{eqnarray}
これらは同位角であり、同位角が等しい \(\boldsymbol{2}\) 直線は平行であるから、
\[\boldsymbol{\color{blue}{MN /\!/ BC}\;――\;a}\]
さらに、相似な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する辺の長さの比もすべて等しいので、
\begin{eqnarray}
& &AM:AB=AN:AC\\[7px]
& &=MN:BC\\[7px]
& &=1:2\;\small{となり}\\[7px]
& &\boldsymbol{\color{blue}{MN=\frac{1}{2}BC}\;――\;b}
\end{eqnarray}
これをまとめると、
\(\boldsymbol{△ABC}\) の頂角をはさむ \(\boldsymbol{2}\) 辺 \(\boldsymbol{AB,\;AC}\) 上にそれぞれ \(\boldsymbol{2}\) つの中点 \(\boldsymbol{M,\;N}\) をとるとき、
| \(\large{\boldsymbol{a.\quad MN /\!/ BC}}\) |
| \(\large{\boldsymbol{b.\quad MN=\cfrac{1}{2}BC}}\) |
これを中点連結定理（ちゅうてんれんけつていり）といいます。
例 題
図のような四角形 \(ABCD\) の \(4\) 辺 \(AB,\;BC,\;CD,\;DA\) の中点をそれぞれ \(P,\;Q,\;R,\;S\) とするとき、四角形 \(PQRS\) が平行四辺形であることを証明しなさい。
解 説
四角形 \(ABCD\) の対角線を補助線として引きます
証 明
\begin{eqnarray}
& &△DAC\;\small{において、}\\[7px]
& &\small{仮定より、}\\[7px]
& &\small{点}\;\normalsize{R,\;S}\;\small{は}\;\normalsize{DA,\;DC}\;\small{の中点}\\[7px]
& &\small{よって、中点連結定理より}\\[7px]
& &\boldsymbol{SR /\!/ AC,}\\[7px]
& &\boldsymbol{SR=\frac{1}{2}AC}\;――\;1\\[12px]
& &\small{同じく、}\\[7px]
& &△BAC\;\small{において、}\\[7px]
& &\small{仮定より、}\\[7px]
& &\small{点}\;\normalsize{P,\;Q}\;\small{は}\;\normalsize{BA,\;BC}\;\small{の中点}\\[7px]
& &\boldsymbol{PQ /\!/ AC,}\\[7px]
& &\boldsymbol{PQ=\frac{1}{2}AC}\;――\;2\\[12px]
& &1,\;2\;\small{より、}\\[12px]
& &\boldsymbol{\color{blue}{SR /\!/ PQ,\quad SR=PQ}}
\end{eqnarray}
向かい合う \(\boldsymbol{1}\) 組の辺が平行で等しい四角形は平行四辺形であるから、
四角形 \(\boldsymbol{PQRS}\) は平行四辺形である … 証明終わり
