面積比と体積比
相似な図形では、面積比が相似比の \(2\) 乗に等しく、体積比が相似比の \(3\) 乗に等しくなることを学びます。相似な平面図形の面積比
図のような \(2\) つの三角形 \(△ABC\) と \(△DEF\) が相似で、その相似比が \(\boldsymbol{1:k}\) であるとします。 |
相似な図形の周の長さの比
\begin{eqnarray} & &\small{図より、}\\[5px] & &△ABC\;\small{の周の長さ}\\[5px] & &=\boldsymbol{a+b+c}\\[12px] & &△DEF\;\small{の周の長さ}\\[5px] & &=ka+kb+kc\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{red}{k}(a+b+c)}\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &△ABC\;\small{の周の長さ}\;\normalsize{:\;△DEF}\;\small{の周の長さ}\\[5px] & &=(a+b+c):k(a+b+c)\\[5px] & &=\boldsymbol{1:k} \end{eqnarray} 次に、円 \(O\) と 円 \(O'\) があり、相似比 \(\boldsymbol{=1:k}\) である場合、 |
相似な平面図形の面積比
\begin{eqnarray} & &\small{上の図より、}\\[7px] & &△ABC:\;△DEF\\[7px] & &=(\frac{1}{2} \times a \times h):(\frac{1}{2} \times ka \times kh)\\[7px] & &=\frac{1}{2}ah:k^2(\frac{1}{2}ah)\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{1:k^2}}\\[12px] & &\small{同じく、}\\[7px] & &\small{円}\;\normalsize{O}\;:\;\small{円}\;\normalsize{O'}\\[7px] & &=(π \times r \times r):(π \times kr \times kr)\\[7px] & &=πr^2:πk^2r^2\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{1:k^2}} \end{eqnarray} どの平面図形も相似な図形の面積比は \(1:k^2\) となります。相似な立体図形の表面積比
角柱、円錐などの立体図形も、もとの立体の形を変えずに一定の割合で拡大、縮小したものは、もとの立体と相似な関係 にあります。このとき、もとの立体と拡大、縮小後の立体との対応する部分の比は、平面図形と同じく相似比といいます。 図のように、\(2\) つの四角柱 \(ABCD-EFGH\) と \(A'B'C'D'-E'F'G'H'\) があり、お互いに相似な関係で、 相似比は \(1:k\) でであるとします。 |
相似な立体図形の表面積比
立体の表面積 \(\boldsymbol{=}\) 底面積 \(\boldsymbol{+}\) 側面積 から、 \begin{eqnarray} & &\small{四角柱}\;\normalsize{ABCD-EFGH}\;\small{の表面積}\\[5px] & &=2 \times a \times b+(2 \times a \times h+2 \times b \times h)\\[5px] & &=2ab+2ah+2bh\\[5px] & &=\boldsymbol{2(ab+ah+bh)}\\[12px] & &\small{四角柱}\;\normalsize{A'B'C'D'-E'F'G'H}'\;\small{の表面積}\\[5px] & &=2 \times ka \times kb+(2 \times ka \times kh+2 \times kb \times kh)\\[5px] & &=2abk^2+2ahk^2+2bhk^2\\[5px] & &=\boldsymbol{2\color{blue}{k^2}(ab+ah+bh)} \end{eqnarray} 四角柱だけでなく相似な立体図形では、平面図形の場合と同じく対応する部分の比が \(1:k\) ならば、 表面積比は \(\color{blue}{1:k^2}\) になります。相似な立体図形の体積比
\begin{eqnarray} & &\small{上の図において、}\\[5px] & &\small{四角柱}\;\normalsize{ABCD-EFGH}\;\small{の体積}\\[5px] & &=a \times b \times h\\[5px] & &=\boldsymbol{abh}\\[12px] & &\small{四角柱}\;\normalsize{A'B'C'D'-E'F'G'H'}\;\small{の体積}\\[5px] & &=ka \times kb \times kh\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{k^3}(abh)} \end{eqnarray} よって、相似な立体図形では、対応する部分の比が \(1:k\) ならば、体積比は \(\color{blue}{1:k^3}\) になります。 相似な関係にある図形では、対応する部分の長さがもとの長さの \(\boldsymbol{k}\) 倍であるならば、面積が平面や曲面の広さなので、\(\boldsymbol{2}\) つの長さの積で求められることから、面積比は \(\boldsymbol{k^2}\) 倍になります。 一方、体積は平面に高さが加わって \(\boldsymbol{3}\) つの長さの積で求められることから、体積比は \(\boldsymbol{k^3}\) 倍になります。
面積比と体積比
相似な図形において
面積比は相似比の \(\boldsymbol{2}\) 乗
体積比は相似比の \(\boldsymbol{3}\) 乗
にそれぞれ等しい