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重要問題

相似な図形の証明問題では、相似な関係にある図形探しがカギとなる問題が多く出題されます。

相似の証明

問 題
図のように、\(△ABC\) の \(2\) 点 \(A,\;B\) から辺 \(BC,\;CA\) にそれぞれ垂線 \(AD,\;BE\) を引く。\(2\) 本の垂線の交点を \(F\) とするとき、\(△ACD \sim △BFD\) であることを証明しなさい。

証 明 \begin{eqnarray} & &△ACD\;\small{と}\;\normalsize{△BCE}\;\small{において、}\\[5px] & &\small{仮定より、}\\[5px] & &\boldsymbol{∠ADC=∠BEC}\;――\;1\\[5px] & &\boldsymbol{∠DCA=∠ECB}\;――\;2\;\small{(\color{red}{共通の角})} \end{eqnarray} \(1,2\) より、
\(\boldsymbol{2}\) 組の角が等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は相似であるから、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{△ACD \sim △BCE}\;――\;3\\[12px] & &△BCE と △BFD\;において、\\[5px] & &\boldsymbol{∠CEB=∠FDB}\\[5px] & &=\boldsymbol{90^{\circ}}\;――\;4\\[12px] & &\boldsymbol{∠EBC=∠FBD}\;――\;5\;\small{(\color{red}{共通の角})} \end{eqnarray} \(4,5\) より、
\(\boldsymbol{2}\) 組の角が等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は相似であるから、 \begin{eqnarray} & &△BCE \sim △BFD\\[12px] & &3\;\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{△ACD \sim △BFD}\;…\;\small{証明終わり} \end{eqnarray}

中点連結定理

問 題
\(AB \lt AC\) である \(△ABC\) において、辺 \(AC\) 上の点を \(D\) とし、\(∠A\) の二等分線と線分 \(BD\) の交点を \(E,\) \(E\) を通り辺 \(AC\) に平行な直線が辺 \(BC\) と交わる点を \(F\) とする。\(∠AEB=90^{\circ}\) のとき、次の問いに答えなさい。

\((1)\) 点 \(F\) は辺 \(BC\) の中点であることを証明しなさい。
\((2)\) \(AB=6\;cm,\quad AC=10\;cm\) のとき、線分 \(EF\) の長さを求めなさい。

\(\boldsymbol{(1)}\) 証 明 \begin{eqnarray} & &△ABE\;\small{と}\;\normalsize{△ADE}\;\small{において、}\\[5px] & &\small{仮定より、}\\[5px] & &\boldsymbol{∠BAE=∠DAE}\;――\;1\\[12px] & &∠AEB=90^{\circ}\;\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{∠AEB=∠BED-∠AED}\\[5px] & &\boldsymbol{∠AED=∠BED-∠AEB} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{∠BED}\) は直線のつくる角なので \begin{eqnarray} & &∠BED=180^{\circ}\\[5px] & &∠AED=180-90\\[5px] & &=\boldsymbol{90^{\circ}}\;――\;2\\[5px] & &\boldsymbol{AE=EA}\;――\;3\;\small{(\color{red}{共通の辺})} \end{eqnarray} \(1 \sim 3\) より、
\(1\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(2\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{△ABE ≡ △ADE}\] 合同な図形の対応する辺の長さはすべて等しいので、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{BE=ED}\;――\;4\\[12px] & &△BFE\;\small{と}\;\normalsize{△BCD}\;\small{において、}\\[5px] & &\boldsymbol{EF /\!/ CD}\;――\;5\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\boldsymbol{∠BFE=∠BCD}\;――\;6\;\small{(\color{red}{平行線の同位角})}\\[5px] & &\boldsymbol{∠FBE=∠CBD}\;――\;7\;\small{(\color{red}{共通の角})} \end{eqnarray} \(6,\;7\) より、
\(2\) 組の角が等しい \(2\) つの三角形は相似であるから、 \[\boldsymbol{△BFE \sim △BCD}\] 相似な図形の対応する辺の長さの比はすべて等しいので、 \begin{eqnarray} & &BF:FC=BE:ED\\[5px] & &4\;\small{より、}\\[5px] & &BF:FC=BE:ED\\[5px] & &=1:1\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\boldsymbol{BF=FC} \end{eqnarray} が成り立つので、
点 \(\boldsymbol{F}\) は辺 \(\boldsymbol{BC}\) の中点である … 証明終わり

\(\boldsymbol{(2)}\)

\begin{eqnarray} & &(1)\;\small{より、}\\[5px] & &AB=AD\\[5px] & &=\boldsymbol{6\;cm}\;――\;1\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &CD=10-6\\[5px] & &=\boldsymbol{4\;cm}\;――\;2\\[12px] & &△BFE\;\small{と}\;\normalsize{△BCD}\;\small{において、}\\[5px] & &\small{中点連結定理より、}\\[5px] & &EF=\frac{1}{2}CD\\[5px] & &\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{EF=2\;cm}\;…\;答え \end{eqnarray}

線分比、面積比

問 題
図において、四角形 \(ABCD\) は、\(AB=5\;cm,\) 面積が \(50\;cm^2\) の平行四辺形である。 辺 \(AB,\;BC\) 上にそれぞれ \(P,\;Q\) を \(PQ /\!/ AC\) となるようにとる。\(BP=x\;cm\) のとき、次の問いに答えなさい。

\((1)\) \(△APD\) の面積を \(x\) の式で表しなさい。
\((2)\) \(△PBQ\) の面積を \(x\) の式で表しなさい。
\((3)\) \(△PQD\) の面積が \(16\;cm^2\) のとき、\(PB\) の長さを答えなさい。

解 説
\(\boldsymbol{(1)}\) 平行四辺形を左に回転させて、\(AB\) を底辺の図にします

平行四辺形 \(ABCD\) の面積は \(50\;cm^2\) だから、 \begin{eqnarray} & &50=5 \times h\\[5px] & &h=\boldsymbol{10\;cm}\;――\;1\\[12px] & &△APD\;\small{と}\;\normalsize{△ABD}\;\small{において、}\\[5px] & &△ABD=\frac{1}{2}\;\small{平行四辺形}\;\normalsize{ABCD}\\[5px] & &\small{より、}\\[5px] & &△ABD=\frac{1}{2} \times 5 \times 10\\[5px] & &=\boldsymbol{25\;cm^2}\;――\;2\\[12px] & &\small{図}\;\normalsize{2}\;\small{より、}\\[5px] & &AP=(5-x)cm\;\small{から、}\\[5px] & &△APD=\frac{1}{2} \times (5-x) \times 10\\[5px] & &=5(5-x)\\[5px] & &\boldsymbol{∴ \quad 5(5-x)\;cm^2}\;…\;答え \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(2)}\) \begin{eqnarray} & &△BCA\;\small{と}\;\normalsize{△BQP}\;\small{において、}\\[5px] & &\small{仮定より、}\\[5px] & &\boldsymbol{PQ /\!/ AC} \end{eqnarray} \(2\) つの三角形は \(\boldsymbol{2}\) 組の角が等しい相似な関係にあります。
相似な図形の面積比は相似比の \(\boldsymbol{2}\) 乗に等しいことから、 \begin{eqnarray} & &PB:AB=x:5\\[5px] & &△BQP:△BCA=x^2:(5)^2\\[5px] & &=x^2:25\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &△BQP:25=x^2:25\\[5px] & &\small{より、}\\[12px] & &25x^2=25△BQP\\[5px] & &\boldsymbol{∴ \quad △BQP=x^2} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(3)} \quad △DQC\) と \(△DBC\) の関係から \(△DQC\) の面積を求めます \begin{eqnarray} & &\small{図より、}\\[5px] & &\small{平行四辺形}\;\normalsize{ABCD}\;\small{の面積}\\[5px] & &=(△APD\;\small{の面積}\normalsize{)+(△PBQ}\;\small{の面積}\normalsize{)}\\[5px] & &\hspace{14px}+(△DQC\;\small{の面積}\normalsize{)+(△DPQ}\;\small{の面積}\normalsize{)\;――\;1} \end{eqnarray} から、まず \(△DQC\) の面積を求めます。

\begin{eqnarray} & &(2)\;\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{QC:BC=(5-x):5}\;――\;2\\[12px] & &△DQC\;\small{と}\;\normalsize{△DBC}\;\small{において、}\\[5px] & &1\;\small{より、}\\[5px] & &△DQC:△DBC=(5-x):5\\[5px] & &\small{なので、}\\[5px] & &△DQC:25=(5-x):5\\[5px] & &5△DQC=25(5-x)\\[5px] & &\boldsymbol{△DQC=5(5-x)}\;――\;3\\[12px] & &\small{これにより、}\\[5px] & &50=5(5-x)+x^2+5(5-x)+16\\[5px] & &50=10(5-x)+x^2+16\\[5px] & &50=50-10x+x^2+16\\[5px] & &x^2-10x+16=0\\[5px] & &\boldsymbol{(x-2)(x-8)=0}\\[5px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\boldsymbol{\color{blue}{x=2,\quad 8}} \end{eqnarray}

\(x=8\) のとき、\(AP=-3\) と負の値になるので不適切 \[\boldsymbol{∴ \quad PB=2\;cm}\]

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