重要問題
相似な図形の証明問題では、相似な関係にある図形探しがカギとなる問題が多く出題されます。相似の証明
問 題
図のように、\(△ABC\) の \(2\) 点 \(A,\;B\) から辺 \(BC,\;CA\) にそれぞれ垂線 \(AD,\;BE\) を引く。\(2\) 本の垂線の交点を \(F\) とするとき、\(△ACD \sim △BFD\) であることを証明しなさい。
図のように、\(△ABC\) の \(2\) 点 \(A,\;B\) から辺 \(BC,\;CA\) にそれぞれ垂線 \(AD,\;BE\) を引く。\(2\) 本の垂線の交点を \(F\) とするとき、\(△ACD \sim △BFD\) であることを証明しなさい。
\(\boldsymbol{2}\) 組の角が等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は相似であるから、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{△ACD \sim △BCE}\;――\;3\\[12px] & &△BCE と △BFD\;において、\\[5px] & &\boldsymbol{∠CEB=∠FDB}\\[5px] & &=\boldsymbol{90^{\circ}}\;――\;4\\[12px] & &\boldsymbol{∠EBC=∠FBD}\;――\;5\;\small{(\color{red}{共通の角})} \end{eqnarray} \(4,5\) より、
\(\boldsymbol{2}\) 組の角が等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は相似であるから、 \begin{eqnarray} & &△BCE \sim △BFD\\[12px] & &3\;\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{△ACD \sim △BFD}\;…\;\small{証明終わり} \end{eqnarray}
中点連結定理
問 題
\(AB \lt AC\) である \(△ABC\) において、辺 \(AC\) 上の点を \(D\) とし、\(∠A\) の二等分線と線分 \(BD\) の交点を \(E,\) \(E\) を通り辺 \(AC\) に平行な直線が辺 \(BC\) と交わる点を \(F\) とする。\(∠AEB=90^{\circ}\) のとき、次の問いに答えなさい。
\(AB \lt AC\) である \(△ABC\) において、辺 \(AC\) 上の点を \(D\) とし、\(∠A\) の二等分線と線分 \(BD\) の交点を \(E,\) \(E\) を通り辺 \(AC\) に平行な直線が辺 \(BC\) と交わる点を \(F\) とする。\(∠AEB=90^{\circ}\) のとき、次の問いに答えなさい。
\((1)\) | 点 \(F\) は辺 \(BC\) の中点であることを証明しなさい。 |
\((2)\) | \(AB=6\;cm,\quad AC=10\;cm\) のとき、線分 \(EF\) の長さを求めなさい。 |
\(1\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(2\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{△ABE ≡ △ADE}\] 合同な図形の対応する辺の長さはすべて等しいので、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{BE=ED}\;――\;4\\[12px] & &△BFE\;\small{と}\;\normalsize{△BCD}\;\small{において、}\\[5px] & &\boldsymbol{EF /\!/ CD}\;――\;5\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\boldsymbol{∠BFE=∠BCD}\;――\;6\;\small{(\color{red}{平行線の同位角})}\\[5px] & &\boldsymbol{∠FBE=∠CBD}\;――\;7\;\small{(\color{red}{共通の角})} \end{eqnarray} \(6,\;7\) より、
\(2\) 組の角が等しい \(2\) つの三角形は相似であるから、 \[\boldsymbol{△BFE \sim △BCD}\] 相似な図形の対応する辺の長さの比はすべて等しいので、 \begin{eqnarray} & &BF:FC=BE:ED\\[5px] & &4\;\small{より、}\\[5px] & &BF:FC=BE:ED\\[5px] & &=1:1\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\boldsymbol{BF=FC} \end{eqnarray} が成り立つので、
点 \(\boldsymbol{F}\) は辺 \(\boldsymbol{BC}\) の中点である … 証明終わり \(\boldsymbol{(2)}\)
線分比、面積比
問 題
図において、四角形 \(ABCD\) は、\(AB=5\;cm,\) 面積が \(50\;cm^2\) の平行四辺形である。 辺 \(AB,\;BC\) 上にそれぞれ \(P,\;Q\) を \(PQ /\!/ AC\) となるようにとる。\(BP=x\;cm\) のとき、次の問いに答えなさい。
図において、四角形 \(ABCD\) は、\(AB=5\;cm,\) 面積が \(50\;cm^2\) の平行四辺形である。 辺 \(AB,\;BC\) 上にそれぞれ \(P,\;Q\) を \(PQ /\!/ AC\) となるようにとる。\(BP=x\;cm\) のとき、次の問いに答えなさい。
\((1)\) | \(△APD\) の面積を \(x\) の式で表しなさい。 |
\((2)\) | \(△PBQ\) の面積を \(x\) の式で表しなさい。 |
\((3)\) | \(△PQD\) の面積が \(16\;cm^2\) のとき、\(PB\) の長さを答えなさい。 |
\(\boldsymbol{(1)}\) 平行四辺形を左に回転させて、\(AB\) を底辺の図にします
相似な図形の面積比は相似比の \(\boldsymbol{2}\) 乗に等しいことから、 \begin{eqnarray} & &PB:AB=x:5\\[5px] & &△BQP:△BCA=x^2:(5)^2\\[5px] & &=x^2:25\\[12px] & &\small{よって、}\\[5px] & &△BQP:25=x^2:25\\[5px] & &\small{より、}\\[12px] & &25x^2=25△BQP\\[5px] & &\boldsymbol{∴ \quad △BQP=x^2} \end{eqnarray} \(\boldsymbol{(3)} \quad △DQC\) と \(△DBC\) の関係から \(△DQC\) の面積を求めます \begin{eqnarray} & &\small{図より、}\\[5px] & &\small{平行四辺形}\;\normalsize{ABCD}\;\small{の面積}\\[5px] & &=(△APD\;\small{の面積}\normalsize{)+(△PBQ}\;\small{の面積}\normalsize{)}\\[5px] & &\hspace{14px}+(△DQC\;\small{の面積}\normalsize{)+(△DPQ}\;\small{の面積}\normalsize{)\;――\;1} \end{eqnarray} から、まず \(△DQC\) の面積を求めます。