因数分解
単項式や多項式の積の形の式を開いて、\(1\) つの多項式にすることを式の展開というのに対して、 ある多項式を数個の因数の積の形にすることを因数分解といいます。 因数分解は展開の逆なので、お互いを頭に入れながら行います。因 数
\(\boldsymbol{1}\) と自分自身以外に約数を持たない正の整数を素数（そすう） といいますが、素数でない整数において、その整数より小さい数個の整数の積の形に表せるものがあり、それぞれの整数をもとの整数の因数（いんすう）といいます。 因数はもとの整数の約数と言いかえることもできます。 \begin{eqnarray} & &(x+a)(x+b)\;\small{において、}\\[12px] & &\small{展開}\;\normalsize{→}\\[5px] & &\boldsymbol{=x^2+(a+b)x+ab}\\[12px] & &\small{因数分解}\;\normalsize{→}\\[5px] & &x^2+(a+b)x+ab\\[5px] & &\boldsymbol{=(x+a)(x+b)}\\[5px] \end{eqnarray}共通因数をくくり出す
多項式 \(ax+ay\) を因数分解する場合、式のすべての項に \(a\) が掛けられていることに着目します。 各項に「共通」の \(a\) が、展開する前の式ではカッコの外側にあり、分配法則によって各項に掛け合わされたと考えます。 \begin{eqnarray} & &a(x+y)\\[5px] & &\small{展開}\;\normalsize{→}\\[5px] & &=\boldsymbol{ax+ay}\\[12px] & &ax+ay\\[5px] & &\small{因数分解}\;\normalsize{→}\\[5px] & &=\boldsymbol{a(x+y)} \end{eqnarray} このような因数分解を「共通因数をくくり出す」といいます。例 題
\(3x^2-18x\) を因数分解しなさい。
それぞれの項ごとに見ていきます
\begin{eqnarray}
& &3x^2=3 \times x \times x\\[5px]
& &=\boldsymbol{\color{crimson}{3x}} \times x\\[12px]
& &-18x=3 \times (-6) \times x\\[5px]
& &=\boldsymbol{\color{crimson}{3x}} \times (-6)
\end{eqnarray}
のように分解すると、共通の因数 \(\boldsymbol{\color{crimson}{3x}}\) が見つかります。
よって、この式は \(3x(〇+△)\) の形に因数分解でき、
\begin{eqnarray}
& &3x^2-18x\\[5px]
& &=3x \times x+3x \times (-6)\\[5px]
& &=\boldsymbol{3x(x-6)}
\end{eqnarray}
\(\boldsymbol{(x+a)(x+b)}\) の展開の逆
\begin{eqnarray} & &\small{展 開}\\[5px] & &(x+a)(x+b)\\[5px] & &=x^2+(a+b)x+ab\\[12px] & &\small{因数分解}\\[5px] & &x^2+(a+b)x+ab\\[5px] & &=(x+a)(x+b) \end{eqnarray} という関係を頭に入れます。\(x^2+ax+bx+ab\) を因数分解するとき、\(x^2\) とあるということは、\((x+△)(x+□)\) の形に直せます。つまり、 因数分解したときカッコ内の前の項は \(x\) になります。次に、\(ab\) において、左側カッコ内の後の \(△\) の項には \(a\)、右側カッコ内の後の \(□\) の項には \(b\) が入ると考え、 \[(x+a)(x+b)\] に変形します。例 題
\(x^2+8x+15\) を因数分解しなさい。
式の最初が \(x^2\) で始まるので、\((x+a)(x+b)\) に因数分解できます。よって、それぞれの多項式の左側には \(x\) がくると考えます。
次に、多項式の右側に入る \(a,\;b\) について、
\begin{eqnarray}
& &x\;\small{の}\;\normalsize{1}\;\small{次式の部分}\\[5px]
& &=a+b\\[5px]
& &=\boldsymbol{8}\\[12px]
& &\small{右側の部分}\\[5px]
& &=a \times b\\[5px]
& &=\boldsymbol{15}
\end{eqnarray}
から、因数分解をして積が \(15,\) 和が \(8\) となるような \(a,\;b\) を探します。
掛けて \(15\) になる \(a,\;b\) の組合わせは \[(a,\hspace{9px}b)=(1,\hspace{9px}15),(\color{red}{3,\hspace{9px}5})\] の \(2\) 種類
足して \(8\) になる組合わせは \[(a,\hspace{9px}b)=(\color{red}{3,\hspace{9px}5})\] の \(1\) 種類
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平方公式による展開の逆
平方公式による展開は| 和の平方 | \(\boldsymbol{(x+a)^2=x^2+2ax+a^2}\) |
| 差の平方 | \(\boldsymbol{(x-a)^2=x^2-2ax+a^2}\) |
例 題
多項式 \(x^2-8x+16\) を因数分解しなさい。
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) において、掛けて \(ab,\) 足して \(a+b\) を満たす \(a,\;b\) を探します。
掛けて \(16\) になる \(a,\;b\) の組合わせは \begin{eqnarray} & &(a,\hspace{9px}b)=(1,\hspace{9px}16),\hspace{4px}(-1,\hspace{7px}-16),\hspace{4px}(2,\hspace{9px}8),\\[5px] & &\hspace{75px}(-2,\hspace{7px}-8),\hspace{4px}(4,\hspace{9px}4),\hspace{4px}(\color{red}{-4,\hspace{7px}-4}) \end{eqnarray} の \(6\) 組
足して \(-8\) になる \(a,\;b\) の組合わせは \[(a,\hspace{9px}b)=(\color{red}{-4,\hspace{7px}-4)}\] の \(1\) 組 \[\boldsymbol{∴\quad \color{blue}{(x-4)^2}}\] 平方の形に因数分解できるかの確認
| ・前の項\(\boldsymbol{\;=x^2}\) |
| ・後の項\(\boldsymbol{\;=a^2}\) |
| ・\(\boldsymbol{1}\) 次式の項\(\boldsymbol{\;=2ax}\) |
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和と差の積による展開の逆
前と後ろ項の \(2\) 乗の差で表す式では、\(\boldsymbol{1}\) 次式の部分が \(\boldsymbol{0}\) になり、因数分解すると和と差の積の形になります。 |
例 題
多項式 \(x^2-81\) を因数分解しなさい。
\(x\) の \(2\) 次式の項はあるが \(1\) 次式の項がないので、
\(\boldsymbol{x}\) の係数\(\boldsymbol{\;=0}\) と考え、
掛けて \(-81,\) 足して \(0\) となる\(\boldsymbol{2}\) 数を探します。
掛けて \(\boldsymbol{-81}\) になる \(\boldsymbol{a,\;b}\) の組合わせは、 \[(a,\hspace{9px}b)=(1,\hspace{7px}-81),\hspace{4px}(3,\hspace{7px}-27),\hspace{4px}(\color{red}{9,\hspace{8px}-9})\] 足して \(\boldsymbol{0}\) になる \(\boldsymbol{a,\;b}\) の組合わせ \begin{eqnarray} & &(a,\hspace{9px}b)=(\color{red}{9,\hspace{8px}-9}))\\[5px] & &\boldsymbol{\color{blue}{∴\quad (x+9)(x-9)}} \end{eqnarray}