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因数分解

カッコを開いて多項式に直すことを式の展開というのに対して、多項式を数個の因数の積の形にすることを因数分解といいます。因数分解は展開の逆のことなのでそれぞれを行う場合、お互いを頭に入れながら考えます。

因 数

素数(そすう)1 と自分自身以外に約数を持たない正の整数をいいますが、素数でない整数において、その整数より小さい 数個の整数の積の形に表せるものがあり、それぞれの整数をもとの整数の因数(いんすう)といいます。 因数はもとの整数の約数と言いかえることもできます。
因数分解は展開の逆になるので、常に展開との関係を考えておくようにします。

(x + a)(x + b) において、

展  開
(x + a)(x + b)
 = x2 + (a + b)x + ab
因数分解
x2 + (a + b)x + ab
 = (x + a)(x + b)

共通因数をくくり出す

多項式 ax + ay を因数分解する場合、式のすべての項に a が掛けられていることに着目します。 このとき、各項に「共通」の a が展開する前の式ではカッコの外側にあり、分配法則によって各項に掛け合わされたと考えます。

このような因数分解を「共通因数をくくり出す」
といいます。

3x2 - 18x を因数分解する

各項ごとに見ていきます。それぞれ、

3 × x2 = 3x × x
-18x = 3 × (-6) × x
 = 3x × (-6)

のように分解され、共通の因数「3x」を見ることができます。 よって、この式は 3x(〇 + △) の形に因数分解できるので、

3x2 - 18x
 = 3x × x + 3x × (-6)
 = 3x (x - 6)

(x + a)(x + b) の展開の逆

展開の公式 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
より、

展  開
(x + a)(x + b)
 = x2 + (a + b)x + ab
因数分解
x2 + (a + b)x + ab
 = (x + a)(x + b)

という関係を頭に入れます。
 x2 + ax + bx + ab を因数分解するとき、左側の x2 にまず着目します。
x2 があるということは、(〇 + △)(〇 + □) の形に直せるということです。つまり、因数分解したときカッコ内の前の項は x になります。 次に、ab に着目して左側カッコ内の後の項には a、右側には b が入ると考え、

(x + a)(x + b)

に変形します。a, b の代わりに数字を入れてみましょう。

x2 + 8x + 15 を因数分解する

式の最初が x2 で始まるので、因数分解すると (x + a)(x + b) のように、それぞれの多項式の左側には x がきます。 次に、多項式の右側に入る a, b について考えます。この場合、

xの1次式の部分 = a + b = 8
右側の部分は a × b = 15

から、因数分解をして積が「15」、和が「8」となるような a, b を探します。
 掛けて 15 になる a, b の組合わせは (a, b) = (1, 15), (3, 5) の2種類
 足して 8 になる組合わせは (3, 5) の1種類

∴ (x + 3)(x + 5)

上のような図にまとめるとよくわかります。 x の係数が 1 であるとき、左側の数字はすべて 1 にします。
(左上の x × 右下の b) + (左下の x × 右上の a) x の1次式の部分になり、たての計算が、それぞれ

左側:(x2 × x2)
右側:(3 × 5)

のような関係になります。これを「たすきがけ因数分解」といいます。


平方公式による展開の逆

平方公式による展開は
 和の平方 (x + a)2 = x2 + 2ax + a2
 差の平方 (x - a)
2 = x2 - 2ax + a2
なので、前の項と後の項が2乗、残りの1次式が「2×前の項×後の項」の形であれば平方の形に因数分解できます。

例  題:

 x2 - 8x + 16 の因数分解する
 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab において、掛けて ab, 足して a + b を満たす a, b を探します。
 掛けて 16 になる a, b の組合わせは
 (a, b) = (1, 16), (-1, -16), (2, 8), (-2, -8), (4, 4),
 (-4, -4)
の6組
 足して -8 になる a, b の組合わせは
 (a, b) = (-4, -4)
∴ (x - 4)2

平方の形に因数分解できるかの確認

・前の項 = x2
・後の項 = a2
・1次式の項 = 2a

を満たしていること


和と差の積の公式による展開の逆

(x + a)(x - a) = x2 + ax - ax - a2 = x2 - a2 より、 前と後ろ項の2乗の差で表す式では、1次式の部分が 0 になり、因数分解すると和と差の積の形になります。


例 題:

 x2 - 81 を因数分解する
 x の 2次式の項はあるが1次式の項がないので、「xの係数 = 0」 と考え、掛けて「-81」、足して「0」となる2数を探します。
 掛けて(-81)になる a, b の組合わせ
 :(a, b) = (1, -81), (3, -27), (9, -9)

 足して 0 になる a, b の組合わせ
 :(a, b) = (9, -9)

 ∴ (x + 9)(x - 9)
 *(x + 9)(x - 9) も可

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