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いろいろな因数分解

複雑な多項式の因数分解を行うときには  共通因数があればくくり出し、 残りの式において公式を利用できればその公式を利用して因数分解をします。

因数分解の工夫

因数分解を行う場合、
 i 共通因数がある場合はくくり出す
 ii 因数分解の公式のうち当てはまるものを利用する

という手順で行います。

px2 - 7px + 6p を因数分解する

上の手順にしたがって、
 i 共通因数があればくくり出す
この式の各項には共通因数「p」があるので、これをくくり出し

px2 - 7px + 6p
 = p(x2 - 7x + 6)

ii カッコ内が因数分解できるか確認する
 x の 2次式の項があるので (x + a)(x + b) の形が考えられます。
 掛けて+6 になる a と b の組み合わせ
:(a, b) = (1, 6), (-1, -6), (2, 3), (-2, -3)
 足して -7 になる a と b の組み合わせ
:(a, b) = (-1, -6)
 ∴ (x - 1)(x - 6)

複雑な式の因数分解

m(x + 3)2 - 2m(x + 3) - 63m を因数分解する
このような式においても因数分解の手順通り行います。

i 共通因数をくくり出す
 式の各項に共通因数「m」が含まれるのでこれをくくり出し

m{(x + 3)2 - 2(x + 3) - 63}

ii {  }内を因数分解する
 (x + 3) のカッコをはずして展開しようとすると複雑になって計算が面倒になります。x + 3 をほかの文字に置きかえます。

x + 3 = A
とすると
m(A2 - 2A - 63)

この式において、
 掛けて -63 になる a と b の組み合わせ
: (a, b) = (1, -63), (3, -21), (7, -9),
  (-1, 63), (-3, 21), (-7, 9)
 足して -2 になる a と b の組み合わせ
:(a, b) = (7, -9)

m(A2 - 2A - 63)
= m(A + 7)(A - 9)

A をもとにもどして

m(A + 7)(A - 9)
= m(x + 3 + 7)(x + 3 - 9)
 = m(x + 10)(x - 6)

素因数分解(そいんすうぶんかい)

素数は、1と自分自身でしか割り切れない数のことですが、自然数を素数の積で 表すことを素因数分解といいます。 たとえば、6 を素因数分解すると

6 = 2 × 3

同じように、12 は 2 × 6 と計算できますが、6 はさらに 2 × 3 に分解できるので 12 を素因数分解すると、

12 = 2 × 2 × 3

となります。また、素因数分解をする中で、同じ数が複数出てきた場合は累乗を用います。

12 = 2 × 2 × 3
12 = 22 × 3

大きい数を素因数分解するときは、小さい素数から順に割っていきます。 120 を素因数分解する場合、

 

上の計算を説明すると、
 ① はじめ素数 2 で割り、割れるところまで
   割っていく 
 ② 2で割れなければ次の 3 で割る
 ③ 3で割れなければ次の 5 で割る
 ④ 最後に出た値が 1 になるまで続ける

このような手順で行います。
  ∴ 120 = 23 × 3 × 5

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