いろいろな因数分解
因数分解は、| \(1\) | 共通因数があればくくり出す |
| \(2\) | 乗法公式に当てはめる |
因数分解の工夫
例 題
\(px^2-7px+6p\) を因数分解しなさい。
因数分解の手順にしたがって、
\(px^2-7px+6p\) を因数分解しなさい。
\(1\) 共通因数があればくくり出す
式の各項には共通因数 \(\boldsymbol{p}\) があるので、これをくくり出し \begin{eqnarray} & &px^2-px+6p\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{red}{p}}(x^2-7x+6) \end{eqnarray} \(2\) 乗法公式が利用できれば利用する
\(x\) の \(2\) 次式の項があるので \((x+a)(x+b)\) の形にできるかを考えます
掛けて\(\boldsymbol{+6}\) になる \(a,\;b\) の組み合わせ \begin{eqnarray} & &(a,\hspace{9px}b)=(1,\hspace{9px}6),\hspace{4px}(\color{red}{-1,\hspace{7px}-6}),\\[5px] & &\hspace{75px}(2,\hspace{8px}3),\hspace{4px}(-2,\hspace{7px}-3) \end{eqnarray} 足して \(\boldsymbol{-7}\) になる \(a,\;b\) の組み合わせ \begin{eqnarray} & &(a,\hspace{9px}b)=(\color{red}{-1,\hspace{7px}-6})\\[5px] & &\boldsymbol{∴\quad\color{blue}{(x-1)(x-6)}} \end{eqnarray}
複雑な式の因数分解
例 題
\(m(x+3)^2-2m(x+3)-63m\) を因数分解しなさい。
\(1\) 共通因数をくくり出す
\(m(x+3)^2-2m(x+3)-63m\) を因数分解しなさい。
式の各項に共通因数 \(m\) が含まれるのでこれをくくり出し \[\boldsymbol{\color{red}{m}\{(x+3)^2-2(x+3)-63\}}\] \(2\) 乗法公式が利用できれば利用する
\((x+3)\) のカッコをはずして展開しようとすると複雑になり、計算が面倒になります。 \(x+3\) をほかの文字に置きかえます。 \begin{eqnarray} & &x+3=A\\[5px] & &\small{とすると}\\[12px] & &\boldsymbol{m(A^2-2A-63)} \end{eqnarray} この式において、
掛けて \(\boldsymbol{-63}\) になる \(a,\;b\) の組み合わせ \begin{eqnarray} & &(a,\hspace{9px}b)=(1,\hspace{8px}-63),\hspace{4px}(3,\hspace{8px}-21),\hspace{4px}(\color{red}{7,\hspace{8px}-9}),\\[5px] & &\hspace{75px}(-1,\hspace{8px}63),\hspace{4px}(-3,\hspace{8px}21),\hspace{4px}(-7,\hspace{8px}9) \end{eqnarray} 足して \(\boldsymbol{-2}\) になる \(a,\;b\) の組み合わせ \begin{eqnarray} & &(a,\hspace{9px}b)=(\color{red}{7,\hspace{8px}-9})\\[12px] & &m(A^2-2A-63)\\[5px] & &=m(A+7)(A-9)\\[12px] & &A\;\small{をもとにもどして}\\[12px] & &m(A+7)(A-9)\\[5px] & &=m(\color{red}{x+3}+7)(\color{red}{x+3}-9)\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{m(x+10)(x-6)}} \end{eqnarray}
素因数分解（そいんすうぶんかい）
素数は、\(1\) と自分自身でしか割り切れない数のことですが、自然数を素数の積で表すことを素因数分解といいます。 たとえば、\(6\) を素因数分解すると \[6=2 \times 3\] 同じように、\(12\) は \[12=2 \times 6\] と計算できますが、\(6\) はさらに \(2\) と \(3\) に分解できるので、 \[\boldsymbol{12=2 \times 2 \times 3}\] となります。また、素因数分解をする中で、同じ数が複数出てきた場合は累乗を用います。 \begin{eqnarray} & &12=2 \times 2 \times 3\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{2^2 \times 3}} \end{eqnarray} \(120\) のような大きい数を素因数分解するときは、小さい素数から順に割っていきます。 \begin{array}{cc} 2) & 120 &\\ \hline 2) & 60 &\\ \hline 2) & 30 &\\ \hline 3) & 15 &\\ \hline 5) & 5 &\\ \hline & \boldsymbol{\color{red}{1}} & \end{array} 上の計算は、| \(1)\) | 素数 \(2\) で割り、割れるところまで割っていく |
| \(2)\) | \(2\) で割れなければ次の \(3\) で割る |
| \(3)\) | \(3\) で割れなければ次の \(5\) で割る |
| \(4)\) | 最後に出た値が \(1\) になるまで続ける |