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展開・因数分解の利用

式の展開や因数分解を利用した式の計算は入試によく出題されます。複雑な式に数を代入するものや整数の性質、図形の性質を説明する問題を解く際には、これらを有効に使って式を整理します。

計算への利用

式の展開や因数分解を利用して複雑な計算を解くコツを学びます。次の計算をしてみましょう。

(1) 462  (2) 47 × 33  (3) 9.252 × 0.752

(1) 46 = 40 + 6, 50 - 4 のような形に変形します

・46 = 40 + 6 のとき
462= (40 + 6)2
 = 402 + 2(40 × 6) + 62
 = 1600 + 480 + 36
 = 2080 + 36
 = 2116
・46 = 50 - 4 のとき
(50 - 4)2
 = 502 - 2(50 × 4) + (-4)2
 = 2500 - 400 + 16
 = 2100 + 16
 = 2116

和の平方、差の平方どちらを利用してもかまいませんが、計算しやすい方を選択します。

(2) 47 = 40 + 7, 33 = 40 - 7 として和と差の積の展開を利用します。

47 × 33
 = (40 + 7)(40 - 7)
 = 402 - 72
 = 1600 - 49
 = 1551

(3) x2 - y2 = (x + y)(x - y) より、

 9.252 - 0.752
 = (9.25 + 0.75)(9.25 - 0.75)
 = 10 × 8.5
 = 85

式の値を求める問題

式の値を求める問題では、複雑なものになるとそのまま式に数値を代入すると計算が面倒になるので、 式を展開したり逆に因数分解して計算を楽にします。

(1) x = 305 のとき、 x2 - 10x + 25 の値は ?

305 の2乗といった面倒な計算をさけるため、式を変形します。

x2 - 10x + 25 の式は (x + a)(x + b) の形に因数分解しましょう。 掛けて25になり、足して-10になる a と b の組合わせは

(a, b) = (-5, -5)
ですから
x2 - 10x + 25
= (x - 5)(x - 5)
= (x - 5)2

に直せます。この式の x に 305 を代入して、

(305 - 5)2
 = 3002
 = 90000

(2) m = 8, n = 1/2 のとき

 :(m + n)2 - n(4m + n) の値は ?

まず、式を展開して整理します。

(m + n)2 - n(4m + n)
 = m2 + 2mn + n2 - 4mn - n2
 = m2 - (4 - 2)mn + (1 - 1)n2
 = m2 - 2mn

この式に数値を代入して

82 - 2 × 8 × 1/2
 = 82 - 8
 = 64 - 8
 = 56

整数の性質

式の展開や因数分解を利用して、整数の性質を説明する問題を解くことができます。 説明問題は、図形の証明などと並んで応用問題の代表的なもので、入試問題にもよく出題されますからしっかり覚えてください。

問 題
5, 6, 7 のように連続する 3つの整数において、
真ん中の数の 2乗から 1 を引くと、両端の数の積
に等しいことを説明しなさい。

 文字を使って3つの整数を表すことからはじめます。 問題文では「真ん中の数」について述べているので、真ん中の数をアルファベットの n を使って表すると、 3つの整数は小さい順に

n - 1, n, n + 1

で表すことができます。次に、「数量関係」を表す文を探してそれを数式に直します。

説 明
 真ん中の整数を n とすると、3つの整数はそれぞれ

n - 1, n, n + 1

 「真ん中の数の2乗から1を引く」 を式に表すと

n2 - 1 ―― ①

 同じく、「両端の整数の積」 とは 「n より 1 小さい数と n より 1 大きい数の積」 であるから、これを式に直して

(n - 1)(n + 1)
 ―― ②

 ②は和と差の積の形であり、これを展開すれば

(n - 1)(n + 1)
 = n2 - n + n - 1
 = n2 - 1

 よって、①と②は等しい。
 ∴ 真ん中の整数の2乗から1を引いた数はその
   両端の整数の積に等しい
 ・・・ 説明終わり

問題文の内容から「真ん中の整数」を n で表しましたが、1番小さい整数を n で表しても解けます。この場合、 3つの整数はそれぞれ n, n + 1, n + 2なり「真ん中の整数の2乗は両端の整数の積に等しい」

問 題
たてと横の長さが x cm の正方形がある。たての長さ
を6cm 長くし、横の長さを 4cm 短くすると、面積
はもとの面積よりもどれだけ増えるか答えなさい。

その後、左辺と右辺を展開して両方が等しいことを確認します

左 辺
 = n2 + 2n + 1 - 1 = n2 + 2n

右 辺
 = n2 + 2n

3つの整数の表し方は、複数の形に表すことができます。問題文が何をたずねるものであるかを理解し、書かれた日本文を正しい数式に直すことが解答のポイントです。


図形の性質

式の展開や因数分解を利用して図形の性質を説明する問題には、次のようなものがあります。

問 題
たてと横の長さが x cm の正方形がある。たての長さ
を6cm 長くし、横の長さを 4cm 短くすると、面積は
もとの面積よりもどれだけ増えるか答えなさい。

 求める答えは
 「たてと横の長さを変えた図形の面積はもとの図形の面積よりどれだけ大きくなるか」なので、

(新しい図形の面積) - (もとの図形の面積)

という数式が思い浮かびます。
 ・もとの図形の面積 = たてと横の長さが x cm の正方形の面積

 = x × x = x2 (cm2)

 ・新しい図形の面積
 = (x より 6cm 長いたての長さ) × (x より 4cm 短い横の長さ)                                                   
 = (x + 6)(x - 4)
(cm2)
 よって、

(x + 6)(x - 4) - x2 + 42
 = x2 + 42 - 4x + 6x - 24 - x2 + 42
 = x2 + 42 - x2 + 42 + (6 - 4)x - 24
 = 2x - 24

 答 え: 2x - 24 (cm2) 増える

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