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重要問題

式の展開も因数分解も基本となるのは「乗法公式」の利用です。公式には含まれませんが、入試の整数に関する問題でよく出る因数分解に、\(xy+x+y+1=(x+1)(y+1)\) は覚えましょう。同じ形に、\(xy^2-x-2y^2+2=(x-2)(y+1)(y-1)\) などがあります。

展開と因数分解

次の \((1)\) を計算し、\((2)\) を因数分解しなさい。

\((1) \quad (x-y-7)^2-(x-y)(x-y+2)\) \((2) \quad x^2-5xz+5xy-25yz\)

解 説
\(\boldsymbol{(1)} \quad x-y=A\) に置きかえます \begin{eqnarray} & &x-y=A\;\small{として}\\[5px] & &(A-7)^2-A(A+2)\\[5px] & &=A^2-14A+49-A^2-2A\\[5px] & &=-16A+49\\[12px] & &A\;\small{をもとに戻して}\\[5px] & &-16(x-y)+49\\[5px] & &=\boldsymbol{-16x+16y+49}\;…\;答え \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(2)}\) 共通因数を見つけ出します \begin{eqnarray} & &x^2-5xz+xy-25yz\\[5px] & &=\color{blue}{x(x-5z)+5y(x-5z)}\\[5px] & &=\boldsymbol{(x+5y)(x-5z)}\;…\;答え \end{eqnarray}

式の値

\(x-y=15\) のとき、次の式の値を求めなさい。

\[\cfrac{x^2+y^2}{10}-\cfrac{xy}{5}\]

解 説
通分して分子を計算し、その後因数分解します。 \begin{eqnarray} & &\frac{x^2+y^2}{10}-\frac{xy}{5}\\[5px] & &=\frac{\color{blue}{x^2-2xy+y^2}}{10}\\[5px] & &=\frac{\color{blue}{(x-y)^2}}{10}\\[12px] & &x-y=15\;\small{を代入して}\\[7px] & &\frac{15^2}{10}=\frac{(10+5)^2}{10}\\[7px] & &=\frac{10^2+2(10 \cdot 5)+5^2}{10}\\[7px] & &=\frac{100+100+25}{10}=\frac{225}{10}\\[7px] & &=\boldsymbol{\frac{45}{2}}\;…\;答え \end{eqnarray}

整数の性質

\(x^2-y^2=180\) を満たすすべての自然数の組を \((x,\hspace{9px}y)\) の形であげなさい。

解 説 \begin{eqnarray} & &x^2-y^2=180\\[5px] & &\small{より、}\\[5px] & &\boldsymbol{x \gt y}\;――\;1\\[12px] & &\small{また、}\\[5px] & &\boldsymbol{x^2-y^2=(x+y)(x-y)}\;――\;2 \end{eqnarray} \(1,\;2\) を踏まえて、次のような対応表をつくります。

\(\boldsymbol{x+y}\) \(180\) \(90\) \(60\) \(45\) \(36\) \(30\) \(20\) \(18\) \(15\)
\(\boldsymbol{x-y}\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(9\) \(10\) \(12\)

上の対応表から、連立方程式を立てます。たとえば、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=180\;――\;\small{ア}\\[12px] x-y=1\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

ア \(+\) イ より、\(y\) を消去して、 \begin{eqnarray} & &2x=181\\[5px] & &x=90.5 \end{eqnarray} 問題の条件は \(x,\;y\) が自然数なので、この解は不適切です。 つまり、ア \(+\) イが偶数のものが答えになります。これにより、求める解は

\(\boldsymbol{x+y=90,\hspace{5px}x-y=2}\) のとき \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=90\;――\;\small{ア}\\[12px] x-y=2\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

ア \(+\) イ より、 \(y\) を消去して \begin{eqnarray} & &2x=92\\[5px] & &\boldsymbol{x=46}\\[12px] & &\small{これを\;イ\;に代入して}\\[5px] & &46-y=2\\[5px] & &-y=2-46\\[5px] & &y=46-2\\[5px] & &\boldsymbol{y=44}\;――\;1 \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x+y=30,\hspace{5px}x-y=6}\) のとき \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=30\;――\;\small{ア}\\[12px] x-y=6\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

ア \(+\) イ より、 \(y\) を消去して \begin{eqnarray} & &2x=36\\[5px] & &\boldsymbol{x=18}\\[12px] & &\small{これを\;イ\;に代入して}\\[5px] & &18-y=6\\[5px] & &y=18-6\\[5px] & &\boldsymbol{y=12}\;――\;2 \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x+y=18,\hspace{5px}x-y=10}\) のとき \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=18\;――\;\small{ア}\\[12px] x-y=10\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

ア \(+\) イ より、 \(y\) を消去して \begin{eqnarray} & &2x=28\\[5px] & &\boldsymbol{y=14}\\[12px] & &\small{これを\;イ\;に代入して}\\[5px] & &14-y=10\\[5px] & &-y=10-14\\[5px] & &y=14-10\\[5px] & &\boldsymbol{y=4}\;――\;3 \end{eqnarray}

∴ この式を満たす自然数の組は
\(\boldsymbol{(x,\hspace{9px}y)=\color{blue}{(46,\hspace{7px}44),\hspace{4px}(18,\hspace{7px}12),\hspace{4px}(14,\hspace{8px}4)}}\)

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