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多項式の重要問題

式の展開も因数分解も基本となるのは「乗法公式」の利用です。複雑な式の展開おいて、部分的に別の文字に直して乗法公式を利用できるようにしたり、複雑な因数分解でも、部分的に因数分解をくり返して最終的に多項式の積の形にまとめます。

展開と因数分解


 (1) を計算し、(2) を因数分解しなさい。
 (1) (x - y - 7)2 - (x - y)(x - y + 2)
 (2) x2 - 5xz + 5xy - 25yz

解 説:
 ―― (1) x - y = A に置きかえる (2) 共通因数を見つけ出すのがカギ

(1) (x - y - 7)2 - (x - y)(x - y + 2)
 x - y = A
に直して、

(A - 7)2 - A(A + 2)
 = A2 - 14A + 14 - A2 - 2A
 = A2 - A2 - 14A - 2A + 14
 = -16A + 14
A をもとに戻して
 = -16(x - y) + 14
 = -16x + 16y + 14

(2) x2 - 5xz + 5xy - 25yz
 x2 - 5xz, 5xy - 25yz を次のように変形します。

 = x(x - 5z) + 5y(x - 5z)
 =(x + 5y)(x - 5z)

式の値


 x = 15 のとき、次の式の値を求めなさい。

 

解 説:
―― 通分して分子を計算し、その後因数分解します。


整数の性質

 x2 - y2 = 180 を満たすすべての自然数の組を (x, y) の形であげなさい。

解 説:
 x2 - y2 = 180 だから x > y ―― ①
 また、
 x2 - y2 = (x + y)(x - y) を利用 ―― ②

①②を踏まえて、次のような対応表をつくります。

上の対応表から、連立方程式を建てます。たとえば、

x + y = 180 ―― ア
x - y = 1   ―― イ
ア + イ より、y を消去して、
2x = 181
x = 90.5

問題の条件は x, y が自然数であることなのでこの解は不適当です。 つまり、「ア + イ」が偶数のものが答えになります。

これにより、求める解は

x + y = 90 ―― ア
x - y = 2 ―― イ
ア + イ より、 y を消去して
2x = 92
x = 46
これを イ に代入して
46 - y = 2
y = 46 - 2
y = 44 ―― ①

x + y = 30 ―― ア
x - y = 6 ―― イ
ア + イ より、 y を消去して
2x = 36
x = 18
これを イ に代入して
18 - y = 6
y = 18 - 6
y = 12 ―― ②

x + y = 18 ―― ア
x - y = 10 ―― イ
ア + イ より、 y を消去して
2x = 28
x = 14
これを イ に代入して
14 - y = 10
y = 14 - 10
y = 4 ―― ③

 ∴ この式を満たす自然数の組は
  (x, y) = (46, 44), (18, 12), (14, 4)


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