重要問題
式の展開も因数分解も基本となるのは「乗法公式」の利用です。公式には含まれませんが、入試の整数に関する問題でよく出る因数分解に、\(xy+x+y+1=(x+1)(y+1)\) は覚えましょう。同じ形に、\(xy^2-x-2y^2+2=(x-2)(y+1)(y-1)\) などがあります。展開と因数分解
次の \((1)\) を計算し、\((2)\) を因数分解しなさい。
解 説
| \((1) \quad (x-y-7)^2-(x-y)(x-y+2)\) | \((2) \quad x^2-5xz+5xy-25yz\) |
\(\boldsymbol{(1)} \quad x-y=A\) に置きかえます \begin{eqnarray} & &x-y=A\;\small{として}\\[5px] & &(A-7)^2-A(A+2)\\[5px] & &=A^2-14A+49-A^2-2A\\[5px] & &=-16A+49\\[12px] & &A\;\small{をもとに戻して}\\[5px] & &-16(x-y)+49\\[5px] & &=\boldsymbol{-16x+16y+49}\;…\;答え \end{eqnarray} \(\boldsymbol{(2)}\) 共通因数を見つけ出します \begin{eqnarray} & &x^2-5xz+xy-25yz\\[5px] & &=\color{blue}{x(x-5z)+5y(x-5z)}\\[5px] & &=\boldsymbol{(x+5y)(x-5z)}\;…\;答え \end{eqnarray}
式の値
\(x-y=15\) のとき、次の式の値を求めなさい。
\[\cfrac{x^2+y^2}{10}-\cfrac{xy}{5}\]
解 説
通分して分子を計算し、その後因数分解します。 \begin{eqnarray} & &\frac{x^2+y^2}{10}-\frac{xy}{5}\\[5px] & &=\frac{\color{blue}{x^2-2xy+y^2}}{10}\\[5px] & &=\frac{\color{blue}{(x-y)^2}}{10}\\[12px] & &x-y=15\;\small{を代入して}\\[7px] & &\frac{15^2}{10}=\frac{(10+5)^2}{10}\\[7px] & &=\frac{10^2+2(10 \cdot 5)+5^2}{10}\\[7px] & &=\frac{100+100+25}{10}=\frac{225}{10}\\[7px] & &=\boldsymbol{\frac{45}{2}}\;…\;答え \end{eqnarray}
整数の性質
\(x^2-y^2=180\) を満たすすべての自然数の組を \((x,\hspace{9px}y)\) の形であげなさい。
解 説
\begin{eqnarray}
& &x^2-y^2=180\\[5px]
& &\small{より、}\\[5px]
& &\boldsymbol{x \gt y}\;――\;1\\[12px]
& &\small{また、}\\[5px]
& &\boldsymbol{x^2-y^2=(x+y)(x-y)}\;――\;2
\end{eqnarray}
\(1,\;2\) を踏まえて、次のような対応表をつくります。
| \(\boldsymbol{x+y}\) | \(180\) | \(90\) | \(60\) | \(45\) | \(36\) | \(30\) | \(20\) | \(18\) | \(15\) |
| \(\boldsymbol{x-y}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(9\) | \(10\) | \(12\) |
| \(\boldsymbol{(x,\hspace{9px}y)=\color{blue}{(46,\hspace{7px}44),\hspace{4px}(18,\hspace{7px}12),\hspace{4px}(14,\hspace{8px}4)}}\) |