演習問題：比例と反比例

  • \(\boldsymbol{1.}\)　次の問いに答えなさい。
  • 　\((1)\)　図において、\(A \sim D\) の座標を答えなさい。

  • 　　\((2)\)　次の点 \(P \sim S\) を図に書きなさい。
  • \[P\;(2, \hspace{13px} 5),\quad Q\;(-4, \hspace{9px} 1),\quad R\;(-3, \hspace{7px} -5),\quad S\;(4, \hspace{9px} -4)\]

  • \(\boldsymbol{2.}\)　次の式の中から比例の式をすべて選び、番号で答えなさい。

\((1) \quad y=4x\) \((2) \quad y=\cfrac{3}{x}\)
\((3) \quad y=\cfrac{5}{3}x\) \((4) \quad y=2^3\)
\((5) \quad y=x-7\) \((6) \quad y=-\cfrac{x}{6}\)
\((7) \quad y=-8x\) \((8) \quad y=2x^2\)

  • \(\boldsymbol{3.}\)　次の \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
  • 　\((1)\)　底辺の長さが \(4\;cm\)、高さが \(x\;cm\) の三角形の面積を \(y\;cm^2\) とする
  • 　\((2)\)　\(1500\;m\) の道のりを毎分 \(x\;m\) の速さで歩くと \(y\) かかる
  • 　\((3)\)　たての長さが \(x\;cm\)、横の長さが \(y\;cm\) の長方形の周の長さは \(21\;cm\) である
  • 　\((4)\)　水そうに水を毎分 \(3\;l\) ずつ入れるとき、入れ始めてから \(x\) 分後の水そう内の水の量を \(y\;l\) とする
  • 　\((5)\)　時計の長針が \(x^{\circ}\) 動く間に短針は \(y^{\circ}\) 動く

  • \(\boldsymbol{4.}\)　次の \(x\) の変域を不等号を使って表しなさい。
  • 　\((1)\)　\(x\) は \(5\) 以上
  • 　\((2)\)　\(x\) は \(30\) 以下
  • 　\((3)\)　\(x\) は \(-12\) より大きい
  • 　\((4)\)　\(x\) は \(11\) 未満
  • 　\((5)\)　\(x\) は \(8\) 以上 \(13\) 以下
  • 　\((6)\)　\(x\) は \(-6\) 以上 \(3\) 未満

  • \(\boldsymbol{5.}\)　次の問いに答えなさい
  • 　\((1)\)　\(y\) が \(x\) に比例し、\(x=8\) のとき \(y=2\) である
  • 　　　ア　\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
  • 　　　イ　比例定数を答えなさい。
  • 　　　ウ　\(x=-6\) のとき \(y\) の値を求めなさい。
  • 　　　エ　\(x\) の変域が \(-3 \leqq x \leqq 4\) のとき \(y\) の変域を答えなさい。
  • 　\((2)\)　\(y\) が \(x\) に反比例し、\(x=4\) のとき \(y=-9\) である。
  • 　　　ア　\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
  • 　　　イ　比例定数を答えなさい。
  • 　　　ウ　\(x=6\) のとき \(y\) の値を求めなさい。
  • 　　　エ　\(x\) の変域が \(2 \leqq x \leqq 6\) のとき \(y\) の変域を答えなさい。

  • \(\boldsymbol{6.}\)　\(y=\cfrac{a}{x}\) のグラフ上に点 \(A\) と点 \(B\) がある。点 \(A\) の座標は \((1,\hspace{12px}8)\)、点 \(B\) の \(x\) 座標は \(4\) であるとき、次の問いに答えなさい。

  • 　\((1)\)　\(a\) の値を求めなさい。
  • 　\((2)\)　点 \(B\) の \(y\) 座標を求めなさい。
  • 　\((3)\)　\(△AOB\) の面積を求めなさい。

解　説

  • \(\boldsymbol{1.}\)

\((2)\)

  • \(\boldsymbol{2.}\)　比例は \(y=ax\) の形をいいます

  • \(\boldsymbol{3.}\)
  • \((1)\)　三角形の面積 \(=\;\cfrac{1}{2}\times\) 底辺 \(\times\) 高さ
  • \((2)\)　道のり \(=\) 速さ \(\times\) 時間
  • \((3)\)　長方形の周の長さ \(=\;2\times\) (たての長さ \(+\) 横の長さ)
  • \((4)\)　毎分 \(3\)ℓは、\((3 \times 1)\)ℓだから、毎分 \(x\)ℓ\(=(3 \times x)\)ℓ
  • \((5)\)　時計の短針の目盛は \(1\) 時から \(12\) 時までの \(12\) 。よって、\(1\) つの目盛の角度は \(\cfrac{360}{12}=30^{\circ}\)
  • 時計が \(1\) 時間進むと、短針は \(30\) 度、長針は \(360\) 度動くので、\(2\) つの針の動く割合は、\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{30}{360}=\cfrac{1}{12}\)

  • \(\boldsymbol{5.}\)
  • \((1)\)　ア　\(y=ax \;→\;2=a \times 8 \quad a=\cfrac{2}{8}=\cfrac{1}{4}\)
  • 　　　ウ　\(y=\cfrac{1}{4} \times (-6)=-\cfrac{6}{4}=-\cfrac{3}{2}\)
  • 　　　エ　\(x=-3\) のとき \(y=\cfrac{1}{4} \times (-3)=-\cfrac{3}{4}\)
  • 　　　　　\(x=4\) のとき \(y=\cfrac{1}{4} \times 4=1\hspace{30px}∴\;-\cfrac{3}{4} \leqq y \leqq 1\)
  • \((2)\)　ア　\(xy=a\;→\;a=4 \times (-9)=-36\quad y=-\cfrac{36}{x}\)
  • 　　　ウ　\(6=-\cfrac{36}{x}\;→\;6x=-36\quad x=-6\)
  • 　　　エ　\(x=2\) のとき \(y=-\cfrac{36}{2} \times (-18)\)
  • 　　　　　\(x=6\) のとき \(y=-\cfrac{36}{6} \times (-6)\hspace{30px}∴\;-18 \leqq y \leqq -6\)

  • \(\boldsymbol{6.}\)
  • \((3)\)　図のような長方形 \(DOEC\) をつくり、その面積を求めます。次に、その面積から、\(\triangle ABC,\) \(\triangle AOD,\) \(\triangle BOE\) \(3\) つの三角形の面積の和を引けば \(\triangle AOB\) の面積を求められます。
  • \begin{eqnarray} & &\small{長方形}\;\normalsize{DOEC=4 \times 8=32\;――\;1}\\[7px] & &\triangle ABC=\frac{1}{2} \times (4-1)\times(8-2)\\[7px] & &\hspace{65px}=\frac{1}{2} \times 3 \times 6=9\;――\;2\\[7px] & &\triangle AOD=\frac{1}{2} \times 8 \times 1=4\;――\;3\\[7px] & &\triangle BOE=\frac{1}{2} \times 4 \times 2=4\;――\;4\\[7px] & &\small{よって、}\\[7px] & &32-(9+4+4)=32-17\\[7px] & &\hspace{51px}=15 \end{eqnarray}

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