演習問題：空間図形

• \(\boldsymbol{1.}\)　\(A\; \sim\; E\) は正多面体である。下の表に当てはまる語句や数を書き入れなさい。

\(A\)

\(B\)

\(C\)

\(D\)

\(E\)

• \(\boldsymbol{2.}\)　平面が \(1\) つに決まる条件として正しいものをすべて選び、番号で答えなさい。
• 　\(\small{①}\)　\(2\) 点
• 　\(\small{②}\)　交わる \(2\) 直線
• 　\(\small{③}\)　ねじれの関係にある \(2\) 直線
• 　\(\small{④}\)　\(1\) 直線上にある \(3\) 点
• 　\(\small{⑤}\)　\(1\) 直線とその直線上にない \(1\) 点
• 　\(\small{⑥}\)　平行な \(2\) 直線

• \(\boldsymbol{3.}\)　図の直方体について、次の問いに答えなさい。
• 　\((1)\)　面 \(AEHD\) と平行な面を答えなさい。

• 

• 　\((2)\)　辺 \(BC\) と平行な面を答えなさい。
• 　\((3)\)　\(2\) 点 \(E,\;F\) を含む面を答えなさい。
• 　\((4)\)　\(3\) 点 \(A,\;E,\;F\) を含む面を答えなさい。
• 　\((5)\)　辺 \(CD\) と平行な辺を答えなさい。
• 　\((6)\)　辺 \(CD\) とねじれの位置にある辺を答えなさい。

• \(\boldsymbol{4.}\)　次の立体について、カッコ内の ア～エ に適当な数字をいれ、表面積を求めなさい。

\((1)\)
\((2)\)

• \(\boldsymbol{5.}\)　次の立体の表面積を求めなさい。

\((1)\)		\((2)\)
\((3)\)		\((4)\)
\((5)\)

• \(\boldsymbol{6.}\)　次の平面図形をそれぞれ直線ℓを軸として \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めなさい。

\((1)\)

\((2)\)

\((3)\)

解　説

• \(\boldsymbol{1.}\)　正多面体では、辺の数と頂点の数を求める公式があり必修。
• 　辺の数 \(=\{1\;\small{つの面が持つ辺の数}\;\normalsize{\times}\;\small{面の数}\}\;\div2\)
• 　頂点の数 \(=\{1\;\small{つの面が持つ頂点の数}\;\normalsize{\times}\;\small{面の数}\}\;\normalsize{\div}\;\{1\;\small{つの頂点に集まる面の数}\}\)
• \(\boldsymbol{2.}\)　\(1\) つの平面ができる条件は \(\boldsymbol{1}\) 直線上にない \(\boldsymbol{3}\) 点が存在すること
• \(\boldsymbol{3.}\)
• \((2)\)　辺 \(BC\) と平行な辺を含む面を考える
• 　辺 \(BC\) と平行な辺 \(→\) 辺 \(AD,\;EH,\;FG\)
• \((3)\)　\(2\) 点 \(E,\;F\) を結ぶ辺を含む面を考えれはよい
• \((4)\)　辺 \(AE,\;EF\) を両方含む面を選択
• \((6)\)　ねじれの位置とは、平行でなくかつ交わらないこと
• \(\boldsymbol{4.}\)
• \((1)\)　円錐の見取り図で、母線の長さは展開図のおうぎ形の半径に等しい。また、おうぎ形の弧の長さは底面の円の周に等しい。
• \begin{eqnarray} & &\small{表面積}\;\normalsize{=}\;\small{底面積}\;\normalsize{(}\small{半径}\;\normalsize{3cm}\;\small{の円の面積}\normalsize{)+}\small{側面積}\;\normalsize{(}\small{半径}\;\normalsize{9cm}\;\small{のおうぎ形の面積}\normalsize{)}\\[7px] & &3 \times 3 \times \pi+9 \times 9 \times \pi \times \frac{1}{3}\\[7px] & &=9\pi+27\pi=36\pi \end{eqnarray}
• \(\cfrac{\small{おうぎ形の中心角}}{360}=\cfrac{\small{底面の周の長さ}}{\small{側面の母線の長さ}}\) の関係を覚えます
• \((2)\)　円柱の見取り図の高さは、展開図の長方形のたての辺で、横の辺は底面の円の周になる。
• \(\boldsymbol{5.}\)　展開図をイメージするとより簡単に表面積を求められます。
• \begin{eqnarray} & &(1)\quad 2 \times \left(\frac{1}{2} \times 5 \times 12 \right)+\{15 \times (5+12+13)\}\\[7px] & &\hspace{43px}=60+(15 \times 30)=60+450\\[7px] & &\hspace{43px}=510\\[15px] & &(2)\quad 2 \times (5 \times 5 \times \pi)+\{9 \times (2 \times 5 \times \pi)\}\\[7px] & &\hspace{43px}=50\pi+90\pi=140\pi\\[15px] & &(3)\quad 2 \times (5 \times 6)+\{12 \times [2 \times (5+6)]\}\\[7px] & &\hspace{43px}=60+(12 \times 22)\\[7px] & &\hspace{43px}=60+(12 \times 20+12 \times 2)\\[7px] & &\hspace{43px}=60+240+24=324\\[15px] & &(4)\quad 8 \times 8+4 \times \left(\frac{1}{2} \times 8 \times 20 \right)\\[7px] & &\hspace{43px}=64+4 \times 80=64+320\\[7px] & &\hspace{43px}=384\\[15px] & &(5)\quad (4 \times 4\pi)+\left(10 \times 10 \times \pi \times \frac{4}{10} \right)\\[7px] & &\hspace{43px}=16\pi+40\pi=56\pi \end{eqnarray}
• \(\boldsymbol{6.}\)
• \((1)\)　「半径 \(4cm,\) 高さ \(9cm\) の円柱の体積 \(-\) 半径 \(4cm,\) 高さ \(9cm\) の円錐の体積」
• \((2)\)　「半径 \(5cm,\) 高さ \(10cm\) の円柱の体積 \(-\) 半径 \(2cm,\) 高さ \(10cm\) の円柱の体積」
• \((3)\)　半径 \(3cm,\) 高さ \(8cm\) の円柱の体積 \(+\) 半径 \(3cm,\) 高さ \(4cm\) の円柱の体積