解答と解説Comments
数 学 (計算・基本)
\(\boldsymbol{1.}\) 2019年 星雲高等学校
- 解 答
| \((1) \quad 4\) |
| \((2) \quad \cfrac{2+3\sqrt{6}}{2}\) |
| \((3) \quad \cfrac{3}{y^{3}}\) |
| \((4) \quad (3x-y+z)(x-y-z)\) |
| \((5) \quad x=6,\;y=3\) |
| \((6) \quad a=7,\:8,\;13\) |
| \((7) \quad \cfrac{25}{36}\) |
| \((8) \quad \cfrac{7}{12}a\) |
解 説
- \(\boldsymbol{1.}\)
| \((1)\) | \(=25+4-(9-16)=25+4-(25)=4\) | |
| \((2)\) | \(=\cfrac{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{8})}{\sqrt{2}}\) | |
| \(=\cfrac{(\sqrt{18}+\sqrt{48}-\sqrt{3}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\) | ||
| \(=\cfrac{3\sqrt{2}+4\sqrt{3}-\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) | ||
| \(=\cfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\cfrac{2+3\sqrt{6}}{2}\) | ||
| \((3)\) | 空所についての式に直します | |
| \([\hspace{20px}]=\cfrac{7x^{2}}{3xy^{2}} \times \cfrac{9}{7xy}\) | ||
| \(=\cfrac{x}{y^{2}} \times \cfrac{3}{xy}\) | ||
| \(=\cfrac{3x}{xy^{3}}=\cfrac{3}{y^{3}}\) | ||
| \((4)\) | 和と差の積 \(x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)\) を利用して、 | |
| \(=\{(2x-y)+(z+x)\}\{(2x-y)-(z+x)\}\) | ||
| \(=(3x-y+z)(x-y-z)\) | ||
| \((5)\) | 比例式を方手式の形に直して、 | |
| \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2(x+4)-5(y+1)=0\;――\;\small{ア} \\[5px] 3(x-y)-(2x+5)=-8\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x+8-5y-5=0 \\ 3x-3y-2x-5=-8 \end{array} \right. \end{eqnarray}\) | ||
| \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=-3\;――\;\small{ウ} \\ x-3y=-3\;――\;\small{エ} \end{array} \right. \end{eqnarray}\) | ||
| エ の両辺に \(2\) を掛けて、\(x\) の係数を合わせる | ||
| \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=-3\;――\;\small{ウ} \\ 2x-6y=-6\;――\;\small{エ'} \end{array} \right. \end{eqnarray}\) | ||
| ウ\(-\)エ' より、\(x\) を消去して、\(y=3\quad\) これを エ に代入して、 | ||
| \(x-3 \times 3=-3\quad x=-3+9\) \(x=6\) | ||
| \((6)\) | \(mn=12\) となる \(2\) 整数の組み合わせは \((1,\quad 12)\) \((2,\quad 6)\) \((3,\quad 4)\) \((-1,\;-12)\) \((-2,\;-6)\) \((-3,\;-4)\) なので、考えられる式は、 | |
| \((x-1)(x-12)=0,\) \((x-2)(x-6)=0,\) \((x-3)(x-4)=0\) | ||
| \((x+1)(x+12)=0,\) \((x+2)(x+6)=0,\) \((x+3)(x+4)=0\) | ||
| このうち、\(2\) つの解が負の整数になるのは、 | ||
| \((x+1)(x+12)=0,\) \((x+2)(x+6)=0,\) \((x+3)(x+4)=0\) | ||
| よって、これらを展開すると、 | ||
| \(x^2+13x+12=0\) \(→\;\;a=13\) | ||
| \(x^2+8x+12=0\) \(→\;\;a=8\) | ||
| \(x^2+7x+12=0\) \(→\;\;a=7\) | ||
| \((7)\) | 大きいサイコロと小さいサイコロが出る目のすべての場合の数は \(6 \times 6=36\) 通り ―― ① |
 |
| \(x=1\) のとき、\(y \geqq 1+y\) に当てはまる \(y\) はない | ||
| \(x=2\) のとき、\(2y \geqq 2+y\) に当てはまる \(y\) は \(y \geqq 2\) | ||
| だから、\(y=2,\;3,\;4,\;5,\;6\) の \(5\) 通り | ||
| \(x=3\) のとき、\(3y \geqq 3+y\) に当てはまる \(y\) は \(y \geqq 2\) | ||
| だから、\(y=2,\;3,\;4,\;5,\;6\) の \(5\) 通り | ||
| \(x=4\) のとき、\(4y \geqq 4+y\) に当てはまる \(y\) は \(y \geqq 2\) | ||
| だから、\(y=2,\;3,\;4,\;5,\;6\) の \(5\) 通り | ||
| \(x=5\) のとき、\(5y \geqq 5+y\) に当てはまる \(y\) は \(y \geqq 2\) | ||
| だから、\(y=2,\;3,\;4,\;5,\;6\) の \(5\) 通り | ||
| \(x=6\) のとき、\(6y \geqq 6+y\) に当てはまる \(y\) は \(y \geqq 2\) | ||
| だから、\(y=2,\;3,\;4,\;5,\;6\) の \(5\) 通り | ||
| これにより、\(xy \geqq x+y\) になる場合の数\(=25\) 通り ―― ② | ||
| ① より、求める確率は \(\cfrac{25}{36}\) | ||
| \((8)\) | 三角すい \(ABCD\) の体積\(=a\) とすると、 | |
| 三角すい \(LBCD\) は、三角すい \(ABCD\) と底面積が等しいので、体積比は高さの比に等しい | ||
| ∴ 三角すい \(LBCD\) の体積\(=\cfrac{1}{3}a\) | ||
| 三角すい \(APMN\) と三角すい \(ALCD\) の各辺の長さの比は \(1:2\) なので、体積比は \(1^{3}:2^{3}\) | ||
| ∴ 三角すい \(APMN\) の体積\(=\)三角すい \(ALCD \times \cfrac{1}{2^{3}}=\cfrac{2}{3}a \times \cfrac{1}{8}=\cfrac{1}{12}a\) | ||
| よって、三角すい \(PMNLCD=a-\cfrac{1}{3}a-\cfrac{1}{12}a=\cfrac{12-4-1}{12}a\) | ||
| \(=\cfrac{7}{12}a\) | ||
 |
\(\boldsymbol{2.}\) 2019年 桐蔭学園
- 解 答
| \((1) \quad \small{アイ}\normalsize{\;…\;12}\) |
| \((2) \quad \small{ウ}\normalsize{\;…\;2}\) |
| \((3) \quad \small{エオ}\normalsize{\;…\;11}\) |
| \((4) \quad \small{カキク}\normalsize{\;…\;216}\) |
| \((5) \quad \small{\cfrac{ケ}{コサ}}\normalsize{\;…\;\cfrac{1}{24}}\) |
| \((6) \quad \small{シス}\normalsize{\;…\;28} \quad \small{セソ}\normalsize{\;…\;52}\) |
解 説
| \((1)\) | 左辺を展開します。 |
| \(=4-2\sqrt{2}+2+4+2\sqrt{2}+2\) | |
| \(=6+6=12\) | |
| \((2)\) | 文字の項を左辺へ、定数項を右辺へそれぞれ移項します |
| \(2ax+ax=-9+3\) \(3ax=-6\) | |
| \(x=-1\) を代入して、 | |
| \(-3a=-6\) \(a=2\) | |
| これを、もとの式に代入して、 | |
| \(2 \times 2x-3=-2x-9\) \(4x-3=-2x-9\) | |
| 文字の項を左辺へ、定数項を右辺へそれぞれ移項して、 | |
| \(4x+2x=-9+3\) \(6x=-6\) \(x=-1\) | |
| \((3)\) | \(2\) 乗に比例する関数の変化の割合の公式を利用します。 |
| \(y=ax^2\) において、\(x\) が \(m\) から \(n\) へ変化するとき、\(y\) は \(am^2\) から \(an^2\) まで変化するので、 | |
| 変化の割合\(=\cfrac{am^2-an^2}{m-n}\) より、変化の割合\(=a(m+n)\) | |
| \(5=\cfrac{\cfrac{1}{2} \times a^2-\cfrac{1}{2} \times (-1)^2}{a-(-1)}\) | |
| \(5=\cfrac{\cfrac{1}{2}(a^2-1^2)}{(a+1)}=\cfrac{\cfrac{1}{2}(a+1)(a-1)}{(a+1)}\) | |
| \(5=\cfrac{1}{2}(a-1)\) | |
| 両辺に \(2\) を掛けて、分数を含まない式に直して、 | |
| \(10=a\) \(a=11\) | |
| \((4)\) | 円すいの表面積\(=\)底面積（円の面積）\(+\) 側面積（おうぎ形の面積）より、 |
| \((9 \times 9)\pi+(15 \times15) \pi \times \cfrac{9}{15}\) | |
| \(=81\pi+15 \times 9\pi\) | |
| \(=(81+135)\pi=216\pi\) | |
| \((5)\) | \(A,\;B,\;C\;3\) つのサイコロを同時に投げて、出る目のすべての場合の数は |
| \(6 \times 6 \times 6=6^{3}\) 通り ―― ① | |
| \(A \cdot B \cdot C=6\) になる場合の数は \(116, \;161, \;611,\) \(123, \;132,\) \(231, \;213,\) \(312, \;321\) の \(9\) 通り | |
| ① より、求める確率は | |
| \(\cfrac{3^{2}}{6^{3}}=\cfrac{3^{2}}{2^{3} \cdot 3^{3}}\) | |
| \(=\cfrac{9}{8 \cdot 27}=\cfrac{1}{8 \cdot 3}\) | |
| \(=\cfrac{1}{24}\) | |
 |
| \((6)\) | 図において、円周角の定理より、 |
| \(\angle CAD=\angle DAC=x\) | |
| \(\triangle FBC\) において、 | |
| \(x+y=80\;\)―― ア | |
| また、\(\triangle ACE\) において、 | |
| \(x+24=y\;\)―― イ | |
| 連立方程式ア、イを解いて、 | |
| \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=80\;―― \small{ア} \\ x-y=-24\;―― \small{イ'} \end{array} \right. \end{eqnarray}\) | |
| ア\(+\)イ'より、\(y\) を消去して、 | |
| \(2x=56\) \(x=28\) | |
| これをアに代入して、 | |
| \(28+y=80\) \(y=80-28\) | |
| \(y=52\) |