入試数学：図 形
| \(\boldsymbol{1.}\) | 図において、\(\triangle ABC\) は、(AB=AC\) の二等辺三角形である。点 \(D,\;E\) は、それぞれ辺 \(AB,\;AC\) の中点である。また、点 \(F\) は直線 \(DE\) 上の点であり、\(DE=EF\) である。これを踏まえて、次の問いに答えなさい。 |
| 福島県（改） | |
| 問 \(1\) | \(AF=BF\) であることを証明しなさい。 |
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| 問 \(2\) | 線分 \(BF\) と線分 \(CE\) との交点を \(G\) とする。\(\triangle AEF\) において、辺 \(AF\) を底辺とするときの高さを \(x\)、\(\triangle BGE\) において、辺 \(BE\) を底辺とするときの高さを \(y\) とするとき、\(x:y\) の値を求めなさい。 |
| \(\boldsymbol{2.}\) | \(A\) 君と \(B\) さんは、「正方形の紙 \(1\) 枚を \(3\) 等分する方法」を \(2\) 人が、それぞれ調べた方法を下に述べたものである。後の問いに答えなさい。 |
| 奈良県（改） | |
| ・\(A\) 君の調べた方法 |
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| ノートの |
| \(1\) 辺の両端がそれぞれ \(1\) 本目、\(4\) 本目の |
| 辺と \(2\) 本目、\(3\) 本目の |
| つけた印で \(1\) 辺が\(3\) 等分される |
| ・\(B\) さんの調べた方法 | ||
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正方形の紙の下の辺を、上の辺に重なるように折る | |
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折り曲げた折り目の左端に、右下の頂点が重なるように紙を折り、右の辺と上の辺が交わる部分に印を付ける | |
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付けた印に、左上の頂点が重なるように紙を折る | |
| で付けた印と で付けた折り目の上端で、上の辺が \(3\) 等分される |
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| 問 \(1\) | \(A\) 君が調べた方法で、正方形の紙の \(1\) 辺が \(3\) 等分されることを証明するときに根拠となるものは、次のうちどれか。最も適切なものを下から一つ選んで、記号で答えなさい。 | ||
| ア | 三平方の定理 | ||
| イ | 円周角の定理の逆 | ||
| ウ | 平行線と線分の比 | ||
| エ | 相似な図形の相似比と面積比 | ||
| 問 \(2\) | \(B\) さんが調べた方法で付けた印が、正方形の紙の \(1\) 辺を \(3\) 等分する点の \(1\) つであることを、\(2\) 人は下の図を描いて考えた。 四角形 \(ABCD\) は正方形で、点 \(E\) は辺 \(AB\) の中点であり、点 \(F\) は辺 \(CD\) の中点である。 点 \(G\) は辺 \(AD\) 上の点、点 \(H\) は辺 \(BC\) 上にあり、四角形 \(GHCD\) と四角形 \(GHEI\) は直線 \(GH\) について対称である。 また、点 \(J\) は辺 \(AD\) と線分 \(EI\) との交点で、辺 \(CD\) 上の点 \(K\) は点 \(J\) と線分 \(GH\) について対称である。 次の会話と \(2\) 人が考えたことをよく読んで、後の問いに答えなさい。 |
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| 〈\(2\) 人の会話〉 | |||
| \(A\) 君 | 点 \(J\) が辺 \(AD\) を \(3\) 等分する点の \(1\) つであると言えるから、正方形の \(1\) 辺の長さを \(1\) とすると、線分 \(JD\) の長さが \([\quad\small{①}\quad]\) になればいいんだよね。 | ||
| \(B\) さん | それじゃ、線分 \(JD\) の長さが \(x\) としてつくった方程式の解が \([\quad\small{①}\quad]\) になればいいのかな。 | ||
| 〈\(2\) 人の考え〉 | |||
| \(2\) 人は対称な図形の性質や相似な図形の性質を使って考えた | |||
| \(AD=1\) 、\(JD=x\) とすると、\(DK=[\quad\small{②}\quad]\) と表すことができる | |||
| \(\triangle AEJ\) は直角三角形であるから、 | |||
| \([\hspace{30px}\small{③}\hspace{30px}]\) が成り立つ | |||
| これを解くと、\(0 \lt x \lt 1\) より、\(x=[\quad\small{①}\quad]\) | |||
| よって、点 \(J\) は辺 \(AD\) を \(3\) 等分する点の \(1\) つといえる | |||
| \((1)\) | \(\small{①}\) に当てはまる数、\(\small{②}\) に当てはまる式を、それぞれ書きなさい。 | |
| \((2)\) | \(\small{③}\) に当てはまる \(x\) についての方程式を書きなさい。 | |