問 \(1\)　証明 \begin{eqnarray} & &\triangle AED\;\small{と}\;\normalsize{\triangle BDE}\;\small{において、}\\[5px] & &\small{仮定より、}\\[5px] & &DE=EF\;―― \;\small{①}\\[10px] & &\small{また、仮定より、}\\[5px] & &AD=DB\;\small{であり、}\normalsize{AE=EC}\;\small{なので、}\\[5px] & &AE＝BD\; ――\; \small{②}\\[5px] & &AD＝AE\; ――\; \small{③}\\[10px] & &\small{③\;より、}\\[5px] & &\triangle ADE\;\small{は二等辺三角形であるから、}\\[5px] & &\angle ADE=\angle AED\;\small{より、}\\[5px] & &\angle AEC=180-\angle AED\\[5px] & &\angle BDE=180-\angle ADE\\[10px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\angle AEC=\angle BDE\; ――\; \small{④}\\[10px] & &\small{①②④より、}\\[5px] & &2\;\small{辺とその間の角がそれぞれ等しい}\;\normalsize{2}\;\small{つの三角形}\\[5px] & &\small{は合同であるから、}\\[5px] & &\triangle AED\equiv\triangle BDE\\[10px] & &\small{合同な}\;\normalsize{2}\;\small{つの三角形の対応する辺の長さはすべて}\\[5px] & &\small{等しいので、}\\[5px] & &AF=BE\;\small{である\;　…\;　証明終わり} \end{eqnarray}

問 \(2\)　\(x:y=3:2\)

\begin{eqnarray} & &\small{辺}\; \normalsize{EG}\; \small{を}\; \normalsize{1}\; \small{と仮定します}\\[5px] & &\triangle ADE\; \small{と}\; \normalsize{\triangle ABC}\;\small{において、}\\[5px] & &\small{中点連結定理より、}\\[5px] & &DE=\frac{1}{2}BC, EF=\frac{1}{2}BC\;――\;\small{①}\\[5px] & &\triangle GFE \sim \triangle GBC\\[5px] & &\;――\;\small{②\;（2角が等しい：平行線の錯角）}\\[10px] & &\small{よって、}\\[5px] & &GC=2,\; DE=EF=3,\; BC=6\;――\;\small{④}\\[10px] & &\triangle GFE\; \small{において、}\\[5px] & &EF\; \small{を底辺とするときの高さ}\;\normalsize{=1\;――}\;\small{⑤}\\[10px] & &\triangle GBC\; \small{において、}\\[5px] & &BC \;\small{を底辺とするときの高さ}\;\normalsize{=2\;――}\;\small{⑥}\\[10px] & &\small{これにより、}\\[5px] & &\triangle BED,\;\triangle BFE\;\small{において、}\\[5px] & &DE,EF\; \small{を底辺とするときのたかさ}\;\normalsize{=3\;――}\;\small{⑦}\\[15px] & &\triangle BED\; \small{の面積}\\[5px] & &=\frac{1}{2}\times 3 \times 3=4.5\\[15px] & &\triangle BGE\; \small{の面積}\\[5px] & &=\triangle BFE\; \small{の面積}\;\normalsize{-\triangle FGE}\; \small{の面積}\\[5px] & &=\frac{1}{2}\times 3 \times 3-\frac{1}{2}\times 3 \times 1\\[5px] & &=4.5-1.5=3\\[15px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\triangle BED:\triangle BGE\\[5px] & &=45:30=9:6\\[5px] & &=3:2\\[15px] & &\boldsymbol{∴\quad x:y=3:2} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} & &\small{ノートの罫線は同じ幅で、平行\; ―― \;①}\\[10px] & &\small{平行線と線分の比により、}\\[5px] & &\triangle ADE\sim\triangle AFG\;\small{が成り立ち、}\\[5px] & &AD:AF=AE:AG=DE:FG\\[5px] & &AD:DF=AE:EG ――\; \small{②}\\[10px] & &\small{同じく、}\\[5px] & &\triangle AFG\sim\triangle ABC\;\small{より、}\\[5px] & &AF:AB=AG:AC=FG:BC\\[5px] & &AF:FB=AG:GC ――\; \small{③}\\[10px] & &AD=1\;\small{とすれば、}\\[5px] & &AD:AF=AE:AG=DE:FG=1:2\\[5px] & &AD:DF=AE:EG=1:1\\[10px] & &AF:AB=AG:AC=FG:BC=2:3\\[5px] & &AF:FB=AG:GC=2:1\\[15px] & &∴\quad AD=DF=FB\;\small{となります} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} & &\triangle AEJ\; \small{と}\;\normalsize{\triangle BHE} \;\small{において、}\\[5px] & &\angle AEJ+\angle BEH=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\\[5px] & &\angle AEJ+\angle AJE=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\\[5px] & &\angle BEH+\angle BHE=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\\[10px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\angle AEJ=\angle BHE,\quad\angle AJE=\angle BEH\\[5px] & &\small{となるから、}\\[5px] & &\triangle AEJ\sim\triangle BHE\;――\; \small{ア}\\[10px] & &\small{また、}\\[5px] & &\triangle AEJ\; \small{と}\; \normalsize{\triangle IJG}\;\small{において、}\\[5px] & &\angle AJE=\angle IJG,\;\angle EAJ=\angle GIJ=90^{\circ}\\[5px] & &\small{よって、}\\[5px] & &\triangle AEJ\sim\triangle IJG\;――\; \small{イ}\\[10px] & &∴\quad \triangle AEJ\sim\triangle BHE\sim\triangle IJG\;――\; \small{ウ} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} & &\triangle BHE\;\small{において、}\;\small{辺}\;\normalsize{HC=a}\;\small{とすると、}\\[5px] & &EH=a\;\small{であるから、三平方の定理より、}\\[5px] & &(1-a)^{2}+\left(\frac{1}{2} \right)^{2}=a^{2}\\[7px] & &1-2a+a^{2}+\frac{1}{4}=a^{2}\\[7px] & &a^{2}-a^{2}+2a=1+\frac{1}{4}\\[7px] & &2a=\frac{5}{4}\quad a=\frac{5}{8}\\[12px] & &BH=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}\\[7px] & &\small{よって、}\\[7px] & &BH:EB:EH=\frac{3}{8}:\frac{1}{2}:\frac{5}{8}\\[7px] & &=3:4:5\\[12px] & &\small{ウ\;より、}\\[7px] & &IG:JI:JG=3:4:5\\[12px] & &\small{ここで、直角三角形}\normalsize{DKJ}\; \small{を考えます}\\[5px] & &IG=GD,\;IJ=DK\;\small{より、}\\[5px] & &DK:JD=4:(3+5)=1:2\\[10px] & &2DK=JD\quad DK=\frac{JD}{2}\\[5px] & &∴ \quad DK=\frac{x}{2} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} & &\triangle AEJ\;\small{において、}\\[7px] & &AJ=1-x,\;AE=\frac{1}{2}\\[7px] & &\small{②\;より、}\\[7px] & &IJ=DK=\frac{x}{2}\;\small{だから、}\\[7px] & &EJ=1-\frac{x}{2}\\[12px] & &\small{三平方の定理より、}\\[7px] & &\left(\frac{1}{2} \right)^{2}+(1-x)^{2}=\left(1-\frac{x}{2} \right)^{2}\\[12px] & &\small{これを解いて、}\\[7px] & &\frac{1}{4}+1-2x+x^{2}=1-x+\frac{x^{2}}{4}\\[12px] & &x^{2}-\frac{x^{2}}{4}-2x+x+\frac{1}{4}+1-1=0\\[7px] & &\frac{3}{4}x^{2}-x+\frac{1}{4}=0\\[12px] & &\small{両辺に}\;\normalsize{4}\;\small{をかけて、}\\[7px] & &3x^{2}-4x+1=0\\[12px] & &\small{解の公式より、}\\[7px] & &x=\frac{-(-4)±\sqrt{(-4)^{2}-4 \times 3 \times 1}}{2 \times 3}\\[7px] & &=\frac{4±\sqrt{16-12}}{6}=\frac{4±\sqrt{4}}{6}\\[7px] & &=\frac{4±2}{6}\\[12px] & &\small{よって、}\;\normalsize{x=\frac{4+2}{6}=1}\\[7px] & &x=\frac{4-2}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\[7px] & &0 \lt x \lt 1\;\small{であるから、}\normalsize{x=1}\;\small{は不適当}\\[10px] & &∴\quad x=\frac{1}{3} \end{eqnarray}